《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

10. 如图,$PA$,$PB分别与\odot O相切于A$,$B$两点,$\angle C = 54^{\circ}$,则$\angle P = $(B)

A.$108^{\circ}$
B.$72^{\circ}$
C.$54^{\circ}$
D.$36^{\circ}$

答案： B

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 80^{\circ}$,$I是\triangle ABC$的内心,连接$BI$,$CI$,则$\angle BIC$的度数是(C)


A.$110^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$

答案： 解析:选C.因为I为△ABC的内心，所以∠ABI=∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ACI=∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB.因为∠A=80°,所以∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=100°,所以$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=50°,即∠IBC+∠ICB=50°,所以∠BIC=180°−(∠IBC+∠ICB)=130°.故选C.

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 5$,$\odot O与\triangle ABC的三边相切于D$,$E$,$F$三点. 若$\odot O$的半径为2,则$\triangle ABC$的周长为( )


A.14
B.20
C.24
D.30

答案：
解析:选D.连接OE，OF.
　　　　　　　
设AD=x，由切线长定理，得AE=x.因为$\odot O$与Rt△ABC的三边相切于D,E,F 三点，所以OE⊥AC,OF⊥BC,所以四边形OECF为正方形.因为$\odot O$的半径为2,BC=5,所以CE=CF=2,BD=BF=3.在Rt△ABC中,因为$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,即$(x+2)^{2}+5^{2}=(x+3)^{2}$,解得x=10,所以△ABC的周长为12+5+13=30.故选D.

13. 如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O分别与AB$,$BC$,$AC相切于点D$,$E$,$F$,且$AD = 3$,$BC = 5$,则$\triangle ABC$的周长为16.

答案： 16

14. 如图,$AB是半圆O$的直径,$AD和BC$是它的两条切线,切点分别为$A$,$B$,$CO平分\angle BCD$.

(1)求证：$CD是半圆O$的切线；
(2)若$AD = 2$,$CD = 5$,求$BC$的长.

答案：
解:
(1)证明:如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E.
　　　　　　　　
因为BC与半圆O相切于点B，所以OB⊥CB.因为CO平分∠BCD，所以OB=OE，所以OE是半圆O的半径，所以CD是半圆O的切线.
(2)因为AD,CD是半圆O的两条切线，切点分别为A,E，所以DE=AD=2.又因为CD=5，所以CE=CD−DE=3.因为CD，CB是半圆O的两条切线，切点分别为E,B,所以BC=CE=3.

15. 如图,$\odot O与等边\triangle ABC的边AC$,$AB分别交于点D$,$E$,$AE$是直径,过点$D作DF\perp BC于点F$.

(1)求证：$DF是\odot O$的切线；
(2)连接$EF$,当$EF是\odot O$的切线时,求$\odot O的半径r与等边\triangle ABC的边长a$之间的数量关系.

答案：
解:
(1)证明:如图，连接OD.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=60°.因为OA=OD，所以△AOD为等边三角形，所以∠AOD=∠B=60°,所以OD//BC.因为DF⊥BC，所以∠CFD=∠FDO=90°.又因为OD是$\odot O$的半径，所以DF是$\odot O$的切线.
　　　　　　　　
(2)如图，连接DE.由
(1)可得DF是$\odot O$的切线，∠FDO=90°,△AOD为等边三角形，所以∠A=∠ODA=60°,AD=OA=r,AE =2r.因为AE是直径，所以∠ADE=90°,所以∠ODE=30°,所以∠FDE=60°.因为EF是$\odot O$的切线，所以DF=EF,所以△FDE是等边三角形，所以DE=DF.因为DF⊥BC，所以∠ADE=∠CFD=90°,又因为∠A=∠C,所以△AED≌△CDF(AAS),所以AE=CD=2r,所以AC=AD+CD=r+2r=3r.因为AC=a，所以a=3r.