《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

12. 如图,已知$\odot O$的直径CD为4,$\angle AOD的度数为60^{\circ}$,B是$\overset{\frown}{AD}$的中点,在直径CD上找一点P,使$BP + AP$的值最小,则$BP + AP$的最小值是( )


A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.4

答案：
解析:选A.作点B关于CD的对称点E，则点E在$\odot O$上.连接OB,OE,BP,BE,AE,AE 与CD交于点P,如图.

则PE=PB,所以AP+BP=AP+PE=AE，即此时AP+BP的值最小.因为∠AOD=60°,B是$\widehat {AD}$的中点，所以∠AOB=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOD=30°.因为点B关于CD的对称点是点E，所以∠EOD=∠BOD=30°,所以∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°.因为OA=OE=$\frac{1}{2}$CD=2,所以在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{OA^{2}+OE^{2}}=2\sqrt{2}$,即AP+BP的最小值为$2\sqrt{2}$.故选A.

13. 如图,已知点A,B,C,D在$\odot O$上,$AB = CD$.求证：$\angle AOC = \angle BOD$.

答案： 证明:因为弦AB=CD，所以∠AOB=∠COD,所以∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC,即∠AOC=∠BOD.

14. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CB}$,$CD\perp OA$于点D,$CE\perp OB$于点E.

(1) 求证：$CD = CE$；
(2) 若$\angle AOB = 120^{\circ}$,$OA = 2$,求四边形DOEC的面积.

答案：
(1)证明:连接OC(图略).因为$\widehat {AC}=\widehat {BC}$,所以∠AOC=∠BOC.又CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.
(2)因为∠AOB=120°,所以∠AOC=∠BOC=60°.因为∠CDO=90°,所以∠OCD=30°,所以OD=$\frac{1}{2}$OC=1,所以CD=$\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$,所以$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}OD\cdot CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.同理可得,$S_{\triangle OCE}=\frac{1}{2}OE\cdot CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$S_{四边形DOEC}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.