《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

11. 如图是一块铁皮余料,将其放置在平面直角坐标系中,底部边缘$AB在x$轴上,且$AB = 8dm$,外轮廓线是抛物线的一部分,对称轴为$y$轴,高度$OC = 8dm$.现计划将此余料进行切割.

(1)求抛物线的解析式；
(2)若切割成正方形,要求一边在底部边缘$AB$上且面积最大,求此正方形的面积；
(3)若切割成矩形,要求一边在底部边缘$AB$上且周长最大,求此矩形的周长.

答案：
(1)设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+8$，把$B(4,0)$代入，得$0 = 16a + 8$，解得$a = -\frac{1}{2}$，所以抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+8$.
(2)如图1.因为四边形EFGH是正方形，所以$GH = FG = 2OG$.设$H(t,-\frac{1}{2}t^{2}+8)(t \gt 0)$，所以$-\frac{1}{2}t^{2}+8 = 2t$，解得$t_1 = -2 + 2\sqrt{5}$，$t_2 = -2 - 2\sqrt{5}$(不合题意，舍去)，所以此正方形的面积$= FG^{2}=(2t)^{2}=4t^{2}=4(-2 + 2\sqrt{5})^{2}=(96 - 32\sqrt{5})dm^{2}$.
(3)如图2.设$H(t,-\frac{1}{2}t^{2}+8)(t \gt 0)$，所以矩形EFGH的周长$= 2FG + 2GH = 4t + 2(-\frac{1}{2}t^{2}+8)= -t^{2}+4t + 16 = -(t - 2)^{2}+20$.因为$-1 \lt 0$，所以当$t = 2$时，矩形EFGH的周长最大，且最大值为20dm.