《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

17. (2023·西宁)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l $ 与 $ x $ 轴交于点$A(6,0)$,与 $ y $ 轴交于点$B(0,-6)$,抛物线经过点 $ A $,$ B $,且对称轴是直线 $ x = 1 $.

(1)求直线 $ l $ 的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点 $ P $ 是直线 $ l $ 下方抛物线上的一动点,过点 $ P $ 作 $ PC\perp x $ 轴,垂足为 $ C $,交直线 $ l $ 于点 $ D $,过点 $ P $ 作 $ PM\perp l $,垂足为 $ M $.求 $ PM $ 的最大值及此时 $ P $ 点的坐标.

答案： 解:
(1)设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0).把A,B两点的坐标代入解析式，得{6m+n=0,n=-6,解得{m=1,n=-6,所以直线l的解析式为y=x-6.
(2)设抛物线的解析式为y=a(x-h)²+k(a≠0).因为抛物线的对称轴为直线x=1，所以y=a(x-1)²+k.把A,B两点的坐标代入解析式，得{25a+k=0,a+k=-6,解得{a=1/4,k=-25/4,所以抛物线的解析式为y=1/4(x-1)²-25/4=1/4x²-1/2x-6.
(3)因为A(6,0),B(0,-6)，所以OA=OB=6.因为在△AOB中,∠AOB=90°，所以∠OAB=∠OBA=45°.因为PC⊥x轴,PM⊥l，所以∠PCA=∠PMD=90°.在Rt△ADC中,∠PCA=90°,∠OAB=45°，所以∠ADC=45°，所以∠PDM=∠ADC=45°.在Rt△PMD中，∠PMD=90°,∠PDM=45°，所以PM=MD,且PM²+MD²=PD²，所以PM=√2/2PD.设点P的坐标为(t,1/4t²-1/2t-6)，则D(t,t-6)，所以PD=t-6-(1/4t²-1/2t-6)=-1/4t²+3/2t=-1/4(t-3)²+9/4.因为-1/4＜0，所以当t=3时,PD有最大值是9/4,此时PM也最大，所以PM_max=√2/2×9/4=9√2/8.当t=3时,1/4t²-1/2t-6=1/4×3²-1/2×3-6=-21/4，所以P(3,-21/4)，所以PM的最大值是9√2/8,此时P点的坐标是(3,-21/4).