《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

14. (2023·青海)如图,二次函数 $ y = -x^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴相交于点 $ A $ 和点 $ C(1,0) $,交 $ y $ 轴于点 $ B(0,3) $.

(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为 $ P $,对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ Q $,求四边形 $ AOBP $ 的面积(请在图 1 中探索)；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点 $ M $,使得 $ \triangle AMB $ 是以 $ AB $ 为底边的等腰三角形？若存在,请求出满足条件的点 $ M $ 的坐标；若不存在,请说明理由(请在图 2 中探索).

答案：
(1)解:由题意,得$\begin{cases} -1+b+c=0, \\ c=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=-2, \\ c=3, \end{cases}$所以y=-x²-2x+3.
(2)如图,连接OP.因为y=-x²-2x+3=-(x+1)²+4,所以P(-1,4),所以PQ=4,OQ=1.由-x²-2x+3=0,得x₁=1,x₂=-3,所以OA=3,所以S四边形AOBP=S△AOP+S△BOP=$\frac{1}{2}OA·PQ+\frac{1}{2}OB·OQ=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×1=\frac{15}{2}$.
(3)存在.设点M的坐标为(-1,m),因为OA=3,所以A(-3,0).由AM²=BM²,得[(-3)-(-1)]²+m²=(-1)²+(m-3)²,解得m=1,所以点M的坐标为(-1,1).