《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

10. 抛物线 $ y = a(x - 2)^2 + k $ 经过点 $ A(5,0) $,且 $ a ＜ 0 $,$ k \neq 0 $,下列结论正确的是(C)
A.当 $ x ＜ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
B.抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0,k) $
C.$ 4a + k ＞ 0 $
D.抛物线的顶点坐标为 $ (2,0) $

答案： C

11. 如果将抛物线 $ y = (x + 1)^2 - 1 $ 向上平移 2 个单位长度,那么平移后抛物线的顶点坐标是(-1,1)
A.$ (0,2) $
B.$ (2,0) $
C.$ (1,1) $
D.$ (-1,1) $

答案： 解析:选 D. 因为抛物线 $ y=(x+1)^2-1 $ 向上平移 2 个单位长度,得到抛物线 $ y=(x+1)^2-1+2=(x+1)^2+1 $,平移后抛物线 $ y=(x+1)^2+1 $ 的顶点坐标为(-1,1).故选 D.

12. 已知抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 + 5 $,若 $ -1 \leq x \leq 1 $,则下列说法正确的是(B)
A.当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 有最大值 5
B.当 $ x = -1 $ 时,$ y $ 有最小值 $ -22 $
C.当 $ x = -1 $ 时,$ y $ 有最大值 32
D.当 $ x = 1 $ 时,$ y $ 有最小值 2

答案： B

13. 已知二次函数 $ y = a(x - 1)^2 - c $ 的图象如图所示,则一次函数 $ y = ax + c $ 的大致图象是(A)

答案： A

14. 已知点 $ A(4,y_1) $,$ B(\sqrt{2},y_2) $,$ C(-2,y_3) $ 都在二次函数 $ y = (x - 2)^2 - 1 $ 的图象上,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是$ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $.(用“$ ＞ $”连接)

答案： $ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $

15. 已知二次函数图象的顶点坐标是 $ (-1,2) $,且过点 $ (0,\frac{3}{2}) $.
(1) 求二次函数的解析式,并在图中画出它的图象；

(2) 求证：对于任意实数 $ m $,点 $ M(m,-m^2) $ 都不在这个二次函数的图象上.

答案： 解:
(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(-1,2), 所以可设二次函数解析式为 $ y=a(x+1)^2+2 $, 又因为过点 $ (0,\frac{3}{2}) $, 所以 $ \frac{3}{2}=a(0+1)^2+2 $, 解得 $ a=-\frac{1}{2} $, 所以 $ y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2 $.画图略.
(2)证明:把 $ M(m,-m^2) $ 代入 $ y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2 $, 得 $ -m^2=-\frac{1}{2}(m+1)^2+2 $, 化简,得 $ m^2-2m+3=0 $, 则 $ \Delta=(-2)^2-4×1×3=-8 ＜ 0 $,此方程无实数根, 故对于任意实数 m,点 $ M(m,-m^2) $ 都不在这个二次函数的图象上.

16. (2023·兰州)已知二次函数 $ y = -3(x - 2)^2 - 3 $,下列说法正确的是(C)
A.对称轴为 $ x = -2 $
B.顶点坐标为 $ (2,3) $
C.函数的最大值是 $ -3 $
D.函数的最小值是 $ -3 $

答案： 解析:选 C. 二次函数 $ y=-3(x-2)^2-3 $ 图象的对称轴为 $ x=2 $,顶点坐标为(2,-3). 因为 $ -3 ＜ 0 $, 所以二次函数图象开口向下,函数有最大值,为 $ y=-3 $, 所以 A,B,D 选项错误,C 选项正确.故选 C.