《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

16. 如图1,抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴交于$A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,与 $ y $ 轴交于点$C$.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 $ E $ 是抛物线的对称轴与直线 $ BC $ 的交点,点 $ F $ 是抛物线的顶点,求 $ EF $ 的长；
(3)设点 $ P $ 是(1)中抛物线上的一个动点,是否存在满足 $ S_{\triangle PAB}= 6 $ 的点 $ P $？若存在,请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由(请在图2中探索).

答案： 解:
(1)因为抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A(-1,0),B(3,0)，所以{1-b+c=0,9+3b+c=0,解得{b=-2,c=-3,所以该抛物线的解析式为y=x²-2x-3.
(2)由
(1)知,抛物线的解析式为y=x²-2x-3,则C(0,-3)，又y=x²-2x-3=(x-1)²-4，所以F(1,-4).设直线BC的解析式为y=kx-3(k≠0)，把B(3,0)代入,得0=3k-3,解得k=1，则直线BC的解析式为y=x-3.故当x=1时,y=-2,即E(1,-2)，所以EF=|-4|-|-2|=2，即EF=2.
(3)存在.设点P(x,y)，由题意,得S△PAB=1/2×4|y|=6，所以|y|=3,所以y=±3.当y=-3时,x²-2x-3=-3，解得x₁=0,x₂=2；当y=3时,x²-2x-3=3，解得x₃=1-√7,x₄=1+√7.所以存在满足S△PAB=6的点P,点P的坐标为(0,-3)或(2,-3)或(1-√7,3)或(1+√7,3).