《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

12. 已知某二次函数,当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则该二次函数的解析式可以是(B)
A.$ y = 2(x + 1)^2 $
B.$ y = 2(x - 1)^2 $
C.$ y = -2(x + 1)^2 $
D.$ y = -2(x - 1)^2 $

答案： B

13. 在同一平面直角坐标系中,二次函数 $ y = (x - a)^2 $ 与一次函数 $ y = a + ax $ 的图象可能是(D)

答案： D

14. 如果二次函数 $ y = a(x + 3)^2 $ 有最大值,那么 $ a $＜0,当 $ x = $−3时,函数的最大值是0.

答案： ＜　−3　0

15. 抛物线 $ y = a(x + h)^2 $ 的对称轴是直线 $ x = -1 $,且过点 $ (2, -3) $.
(1)求抛物线的解析式,并求出其顶点坐标；
(2)当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3)求将(1)中的抛物线向右平移 3 个单位长度得到的抛物线的解析式.

答案： 解:
(1)因为抛物线的对称轴为直线x=−1,所以−h=−1,
　故h=1,即y=a(x+1)².
　因为过点(2,−3),所以−3=a(2+1)²,
　所以a=−$\frac{1}{3}$,
　所以抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{3}$(x+1)²,
　顶点坐标为(−1,0).
(2)当x＜−1时,y随x的增大而增大.
(3)y=−$\frac{1}{3}$(x+1−3)²,
　即y=−$\frac{1}{3}$(x−2)².

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=(x-h)²的顶点为B(2，0),与y轴交于点A，过点A作AC⊥y轴,交该抛物线于点C，连接BC,以AC,BC为边作ACBD,点D在x轴的负半轴上.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点 $ D $ 的坐标及 $ □ ACBD $ 的面积.

答案： 解:
(1)因为抛物线y=(x−h)²的顶点为B(2,0),
　所以将B(2,0)代入y=(x−h)²,得0=(2−h)²,即h=2,
　故该抛物线的解析式为y=(x−2)².
(2)因为该抛物线的对称轴为直线x=2,AC ⊥y轴交该抛物线于点C，
　当x=0时,y=4,所以AC=4,OA=4.
　因为四边形ACBD是平行四边形，
　所以AC=BD=4,
　所以▱ACBD的面积为4×4=16.
　因为OB=2,
　所以OD=2,
　所以点D的坐标为(−2,0).

17. 已知二次函数 $ y = -(x - h)^2 $($ h $ 是常数),且 $ -2 \leq x \leq 3 $.
(1)当 $ h = -1 $ 时,求函数的最大值；
(2)若函数的最大值为 $ -1 $,求 $ h $ 的值.

答案： 解:
(1)当h=−1时，二次函数为y=−(x+1)²,所以当x=−1时，函数有最大值为0.
(2)因为二次函数y=−(x−h)²(h是常数)，当自变量x满足−2≤x≤3时,其对应函数y 的最大值为−1，
　所以若h＞3,则当x=3时，y最大,即−(3−h)²=−1,
　解得h₁=4,h₂=2(舍去);
　若h＜−2,则当x=−2时,y最大,即−(−2−h)²=−1,
　解得h₃=−3,h₄=−1(舍去);
　若−2≤h≤3,则最大值为0,与题意不符.
　综上，h的值是4或−3.