《2025年新坐标同步练习九年级数学上册人教版青海专用》

1. 抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,0) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (0,-3) $,对称轴为直线 $ x= -1 $。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 若点 $ P $ 在抛物线上,且 $ S_{\triangle POC}= 4 S_{\triangle BOC} $,求点 $ P $ 的坐标；
(3) 设点 $ Q $ 是线段 $ AC $ 上的动点,作 $ QD // y $ 轴交抛物线于点 $ D $,求线段 $ QD $ 长度的最大值。

答案：
1. 解:
(1)已知抛物线的对称轴为直线x = -1，可设抛物线的解析式为y = a(x + 1)² + k，将A(-3,0)，C(0,-3)代入，得{4a + k = 0,a + k = -3}，解得{a = 1,k = -4}，所以抛物线的解析式为y = (x + 1)² - 4 = x² + 2x - 3。
(2)由
(1)知，抛物线的解析式为y = x² + 2x - 3，令y = 0，解得x = -3或x = 1，所以点B的坐标为(1,0)。因为点C的坐标为(0,-3)，所以OB = 1，OC = 3，所以S△BOC = 1/2OB·OC = 1/2×1×3 = 3/2。因为点P在抛物线上，所以设点P的坐标为(m,m² + 2m - 3)，所以S△POC = 1/2OC·|m| = 3/2|m|。因为S△POC = 4S△BOC，所以3/2|m| = 4×3/2，解得m = 4或m = -4。当m = 4时，m² + 2m - 3 = 21；当m = -4时，m² + 2m - 3 = 5，所以满足条件的点P有两个，分别为P₁(4,21)，P₂(-4,5)。
(3)如图。

设直线AC的解析式为y = bx + c，将A(-3,0)，C(0,-3)代入，得{-3b + c = 0,c = -3}，解得{b = -1,c = -3}，所以直线AC的解析式为y = -x - 3。由于点Q在AC上，可设点Q(n,-n - 3)，则点D(n,n² + 2n - 3)，其中-3 ＜ n ＜ 0，所以DQ = -n - 3 - (n² + 2n - 3)= -n² - 3n = -(n + 3/2)² + 9/4，所以当n = -3/2时，DQ长度的最大值为9/4。

2. 如图,二次函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-6,0) $ 和点 $ B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,且顶点 $ D $ 的坐标为 $ (-2,8) $,对称轴与直线 $ AC $ 交于点 $ E $,与 $ x $ 轴交于点 $ F $,连接 $ AC $,$ BC $。

(1) 求二次函数的解析式；
(2) 点 $ P $ 在 $ AC $ 上方二次函数的图象上,且 $ \triangle PDE $ 的面积等于 $ 6 $,求点 $ P $ 的坐标；
(3) 在二次函数图象上是否存在一点 $ M $,使得 $ \angle ACM+\angle OCB= 45^{\circ} $？若存在,求出直线 $ CM $ 与 $ x $ 轴的交点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
2. 解:
(1)设二次函数的解析式为y = a(x - h)² + k，把顶点D的坐标(-2,8)代入，得y = a(x + 2)² + 8，把(-6,0)代入，得0 = a(-6 + 2)² + 8，所以a = -1/2，所以二次函数的解析式为y = -1/2(x + 2)² + 8。
(2)因为y = -1/2(x + 2)² + 8 = -1/2x² - 2x + 6，所以点C的坐标为(0,6)。设直线AC的解析式为y = k₁x + b，把A，C的坐标代入，得{-6k₁ + b = 0,b = 6}，解得{k₁ = 1,b = 6}，所以直线AC的解析式为y = x + 6。因为二次函数y = -1/2x² - 2x + 6的图象的对称轴是直线x = -2，所以E点的横坐标为-2，所以其纵坐标为-2 + 6 = 4，所以点E的坐标为(-2,4)。因为点D的坐标为(-2,8)，所以DE = 4，所以S△PDE = 1/2DE·h = 1/2×4·h = 6，所以h = 3，所以P点的横坐标为-5，所以其纵坐标为-1/2×(-5)² - 2×(-5) + 6 = 7/2，所以点P的坐标为(-5,7/2)。
(3)存在。因为点C的坐标为(0,6)，点A的坐标为(-6,0)，所以OA = OC，所以△AOC为等腰直角三角形，所以∠ACO = 45°。因为抛物线的顶点D的坐标为(-2,8)，所以A，B两点关于直线x = -2对称，所以点B的坐标为(2,0)。
①当CM在∠ACO内部且∠ACM + ∠OCB = 45°时，令直线CM与x轴的交点为点Q₁(点M在图中未能显示)。

因为∠ACQ₁ + ∠Q₁CO = ∠ACO = 45°，∠ACQ₁ + ∠OCB = 45°，所以∠Q₁CO = ∠BCO，因为CO⊥BQ₁，所以∠COQ₁ = ∠COB = 90°，又CO = CO，所以△Q₁CO≌△BCO(ASA)，所以OQ₁ = OB = 2，所以点Q₁的坐标为(-2,0)，所以直线CM与x轴的交点Q₁的坐标为(-2,0)；
②当CM在∠ACO外部且∠ACM + ∠OCB = 45°时，令直线CM与x轴的交点为点Q₂(n,0)。

因为∠ACO = 45°，∠ACQ₂ + ∠OCB = 45°，所以∠Q₂CB = 90°，则在Rt△Q₂CB中，CQ₂² + CB² = Q₂B²，所以n² + 6² + 2² + 6² = (2 - n)²，解得n = -18，所以直线CM与x轴的交点Q₂的坐标为(-18,0)。
综上所述，直线CM与x轴的交点Q的坐标为(-2,0)或(-18,0)。