《2025年启东中学作业本七年级数学上册苏科版徐州专版》

9. 如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,$∠AOE= ∠COF= 90^{\circ }$,图中与$∠BOC$互补的角有 (C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

10. 如图,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3的度数是180°.

答案： 180°

11. 如图,$∠AOC$为平角,已知$OE平分∠AOB$,$OF平分∠BOC$,$AC与DF相交于点O$,$∠AOD= 25^{\circ }$,则$∠BOE$的度数为______65°.

答案： 65°

12. 如图,直线$AB与CD相交于点O$,射线$OE在∠AOD$的内部,$∠AOC= 70^{\circ }-\frac {1}{2}∠AOE$.
(1)如图①,当$∠AOE= 40^{\circ }$时,请写出与$∠BOD$互余的角,并说明理由；
(2)如图②,若$OF平分∠BOE$,求$∠DOF$的度数.

答案： 解:
(1)∠AOE与∠BOD互余.理由如下:
　　因为∠AOC=70°-$\frac{1}{2}$∠AOE,∠AOE=40°,
　　所以∠AOC=70°-$\frac{1}{2}$×40°=50°,
　　所以∠BOD=∠AOC=50°,
　　所以∠BOD+∠AOE=50°+40°=90°,
　　即∠AOE与∠BOD互为余角.
(2)因为OF平分∠BOE,所以∠BOF=∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOE.因为∠AOE+2∠BOF=180°,
　　所以∠AOE+2∠DOF+2∠BOD=180°.
　　因为∠AOC=70°-$\frac{1}{2}$∠AOE=∠BOD,
　　所以∠AOE+2∠DOF+140°-∠AOE=180°,
　　即∠DOF=20°.

13. 直线$AB$,$CD相交于点O$,$∠COF= ∠DOF$,作射线$OE$,且$OC在∠AOE$的内部.
(1)若点$E$,$F在直线AB$的同侧.
①如图①,若$∠BOD= 15^{\circ }$,$∠BOE= 120^{\circ }$,则$∠EOF$的大小是______；
②如图②,若$OF平分∠BOE$,请判断$OC是否平分∠AOE$,并说明理由.
(2)若$∠AOF= 2∠COE$,请写出$∠BOE与∠AOC$之间的数量关系.

答案：

(1)①45°
　　②解:OC平分∠AOE.理由如下:
　　因为OF平分∠BOE,所以∠EOF=∠BOF.
　　因为∠COF=∠DOF,∠COF+∠DOF=180°,
　　所以∠COF=90°,
　　所以∠COE+∠EOF=∠BOD+∠BOF=90°,
　　所以∠COE=∠BOD,又∠AOC=∠BOD,
　　所以∠COE=∠AOC,即OC平分∠AOE.
(2)解:当点E,F在直线AB的同侧时,如题图①.
　　记∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
　　因为∠COF=∠DOF,∠COF+∠DOF=180°,
　　所以∠COF=90°,
　　所以∠EOF=90°-α,∠AOC=∠AOF-∠COF=2α-90°,
　　所以∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-(2α-90°)-α=270°-3α,
　　所以3∠AOC+2∠BOE=270°.
　　当点E,F在直线AB的异侧时,如答图.
　　　　　　
　　记∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
　　因为∠COF=∠DOF,∠COF+∠DOF=180°,
　　所以∠COF=90°,
　　所以∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-2α,
　　所以∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-(90°-2α)-α=90°+α,
　　所以∠AOC+2∠BOE=270°.
　　综上可知,∠BOE和∠AOC之间的数量关系为3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.