《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 如图,在$△ABC$中,BD平分$∠ABC$,交AC于点D,过点D作$DE// BC$交AB于点E。求证:$△BDE$是等腰三角形。
证明:因为BD平分$∠ABC$,所以$∠ABD= ∠DBC$。因为$DE// BC$,所以$∠EDB= ∠DBC$,所以$∠EDB= ∠ABD$,所以$△BDE$是等腰三角形。
反思:“角平分线+平行线→等腰三角形”是一种常见的解题思路。当题目中出现角平分线与平行线时,应联想到应用“在同一三角形中,等角对等边”得到等腰三角形。

答案： 答案:证明:因为BD平分$∠ABC$,所以$∠ABD= ∠DBC$。因为$DE// BC$,所以$∠EDB= ∠DBC$,所以$∠EDB= ∠ABD$,所以$△BDE$是等腰三角形。
反思:“角平分线+平行线→等腰三角形”是一种常见的解题思路。当题目中出现角平分线与平行线时,应联想到应用“在同一三角形中,等角对等边”得到等腰三角形。

例2 如图所示,$△ABC$是等边三角形,$∠ABC和∠ACB$的平分线相交于点D,BD,CD的垂直平分线分别交BC于点E,F。求证:$BE= CF$。

答案：
分析:连结DE,DF,由线段垂直平分线的性质可以得到$BE= DE,DF= CF$。又$△ABC$是等边三角形,BD平分$∠ABC$,推理可得$∠1= ∠2= 30^{\circ }$,从而由“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”得到$∠DEF= 60^{\circ }$。同理可得$∠DFE= 60^{\circ }$。故$△DEF$是等边三角形,$DE= DF$,从而可得$BE= CF$。
答案:证明:如图,连结DE,DF。因为$△ABC$是等边三角形,所以$∠ABC= ∠ACB= 60^{\circ }$。因为BD是$∠ABC$的平分线,所以$∠1= 30^{\circ }$。因为BD的垂直平分线交BC于点E,所以$BE= DE$,所以$∠1= ∠2= 30^{\circ }$,所以$∠DEF= ∠1+∠2= 60^{\circ }$。同理$∠DFE= 60^{\circ }$。所以$△DEF$是等边三角形,所以$DE= DF$。因为CD的垂直平分线交BC于点F,所以$DF= CF$,所以$BE= CF$。
反思:在利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”这一判定定理时,只需判断三个内角中有两个角为$60^{\circ }$即可。