《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 如图,求证:$∠BDC= ∠A+∠B+∠C$。

证明:延长BD交AC于点E,因为$∠DEC$是△ABE的外角,所以$∠DEC= ∠A+∠B$,同理:$∠BDC= ∠DEC+∠C= ∠A+∠B+∠C$。

答案： 分析:这是一个不规则图形,应把它转化为三角形问题,再利用三角形内角和$180^{\circ}$或外角性质来解决问题。
答案:证明:延长BD交AC于点E,因为$∠DEC是△ABE$的外角,所以$∠DEC= ∠A+∠B$,同理:$∠BDC= ∠DEC+∠C= ∠A+∠B+∠C$。
反思:本题也可连结BC,利用$△ABC和△BDC的内角和180^{\circ}$证得结论,其出发点是将$∠A,∠B,∠C$纳入一个三角形;也可连结AD并延长,将不规则图形分解成两个三角形。

例2 如图所示,$∠ACD是△ABC$的一个外角,BE平分$∠ABC$,CE平分$∠ACD$,且BE,CE交于点E,求证:$∠E= \frac {1}{2}∠A$。
证明:因为BE平分$∠ABC$,
所以$∠EBC= \frac {1}{2}∠ABC$(三角形角平分线的定义)。
同理:$∠ECD= \frac {1}{2}∠ACD$,所以$∠E= ∠ECD-∠EBC= \frac {1}{2}∠ACD-\frac {1}{2}∠ABC= \frac {1}{2}(∠ACD-∠ABC)= \frac {1}{2}∠A$。
反思:这是三角形一条内角平分线与一条外角平分线相交而成的角,可以思考两条外角平分线相交所成的角或两条内角平分线相交所成的角又与哪一个角有某种特殊的关系。碰到角平分线时,尝试换个角度看看是否有新的发现。

答案： 答案:证明:因为BE平分$∠ABC$,
所以$∠EBC= \frac {1}{2}∠ABC$(三角形角平分线的定义)。
同理:$∠ECD= \frac {1}{2}∠ACD$,所以$∠E= ∠ECD-∠EBC= \frac {1}{2}∠ACD-\frac {1}{2}∠ABC= \frac {1}{2}(∠ACD-∠ABC)= \frac {1}{2}∠A$。
反思:这是三角形一条内角平分线与一条外角平分线相交而成的角,可以思考两条外角平分线相交所成的角或两条内角平分线相交所成的角又与哪一个角有某种特殊的关系。碰到角平分线时,尝试换个角度看看是否有新的发现。