《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例2 如图所示,$CD⊥AB,BE⊥AC$,垂足分别为 D,E,BE 与 CD 相交于点 O,且$∠1= ∠2$,求证:$BD= CE$。

证明:因为$CD⊥AB,BE⊥AC$,所以$∠ADO= ∠AEO= 90^{\circ }$。在$\triangle ADO和\triangle AEO$中,因为$\left\{\begin{array}{l} ∠1= ∠2(已知),\\ ∠ADO= ∠AEO(已证),\\ AO= AO(公共边),\end{array}\right. $所以$\triangle ADO\cong \triangle AEO$(AAS)。所以$OD= OE$(全等三角形对应边相等)。在$\triangle BDO和\triangle CEO$中,因为$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO= ∠CEO(垂直的定义),\\ OD= OE(已证),\\ ∠DOB= ∠EOC(对顶角相等),\end{array}\right. $所以$\triangle BDO\cong \triangle CEO$(ASA),所以$BD= CE$(全等三角形对应边相等)。

答案： 分析:要证明$BD= CE$,可利用$\triangle BOD\cong \triangle COE或证明AB= AC,AD= AE$,用线段的差来证明。
答案:证明:因为$CD⊥AB,BE⊥AC$,所以$∠ADO= ∠AEO= 90^{\circ }$。在$\triangle ADO和\triangle AEO$中,因为$\left\{\begin{array}{l} ∠1= ∠2(已知),\\ ∠ADO= ∠AEO(已证),\\ AO= AO(公共边),\end{array}\right. 所以\triangle ADO\cong \triangle AEO$(AAS)。所以$OD= OE$(全等三角形对应边相等)。在$\triangle BDO和\triangle CEO$中,因为$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO= ∠CEO(垂直的定义),\\ OD= OE(已证),\\ ∠DOB= ∠EOC(对顶角相等),\end{array}\right. 所以\triangle BDO\cong \triangle CEO(ASA)$,所以$BD= CE$(全等三角形对应边相等)。
反思:本题利用$\triangle ADO\cong \triangle AEO得到OD= OE$,进一步证明$\triangle BDO\cong \triangle CEO$,得$BD= CE$。事实上本题中$\triangle ADO和\triangle AEO,\triangle BDO和\triangle CEO$,$\triangle ABO和\triangle ACO$中,有一对三角形全等即可推得其余两对三角形全等。

1. 如图,小明不小心把一块三角形的玻璃打破成三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 …………………………………………………… (C)

A. 带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①②去

答案： C