《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

3.如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,AD平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$,E,F为垂足,有下列结论:①AD上任意一点到点C与点B的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③$AD⊥BC且BD= CD$;④$∠BDE= ∠CDF$。其中正确的个数是 ………………………………………………………………………… (D)

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D

4.在$△ABC$中,$AB= AC$,D是BC中点,若$∠B= 70^{\circ }$,则$∠BAD= $$20^{\circ}$。

答案： $20^{\circ}$

5.如图,在等边三角形ABC中,BD平分$∠ABC,BD= BF$,则$∠CDF$的度数为____15°。

答案： $15^{\circ}$ 【解析】在等边三角形 $ABC$ 中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，因为 $BD$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle DBC=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$，因为 $BD = BF$，所以 $\angle BDF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DBC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}$，又因为等边三角形 $ABC$ 中，$BD$ 平分 $\angle ABC$，所以 $BD\perp AC$，所以 $\angle BDC = 90^{\circ}$，所以 $\angle CDF=\angle BDC-\angle BDF=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$。

6.如图,$△ABC$是等边三角形,$△ACE$是等腰三角形,$∠AEC= 120^{\circ },AE= CE$,F为BC中点,连结AF。
(1)直接写出$∠BAE$的度数为____90°。
(2)判断AF与CE的位置关系,并说明理由。

答案：
(1) 因为 $\triangle ABC$ 是等边三角形，所以 $\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}$，因为 $EA = EC$，$\angle AEC = 120^{\circ}$，所以 $\angle EAC=\angle ECA = 30^{\circ}$，所以 $\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE=90^{\circ}$。故答案为 $90^{\circ}$。
(2) 结论：$AF// EC$。理由如下：因为 $AB = AC$，$BF = CF$，所以 $AF\perp BC$，因为 $\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ACE = 30^{\circ}$，所以 $\angle BCE = 90^{\circ}$，所以 $EC\perp BC$，所以 $AF// EC$。

7.如图,$△ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE= CE$。
求证:(1)$△AEF\cong △CEB$。
证明：因为 $AD\perp BC$，$CE\perp AB$，所以 $\angle AEC=\angle CEB=\angle ADB = 90^{\circ}$，所以 $\angle BAD+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCE+\angle B = 90^{\circ}$，所以 $\angle EAF=\angle ECB$，在 $\triangle AEF$ 和 $\triangle CEB$ 中，因为 $\angle EAF=\angle ECB$，$AE = CE$，$\angle AEF=\angle CEB$，所以 $\triangle AEF\cong\triangle CEB$ASA。
(2)$AF= 2CD$。
证明：因为 $AB = AC$，$AD\perp BC$，所以 $BD = CD$，即 $BC = 2CD$。又因为 $\triangle AEF\cong\triangle CEB$，所以 $AF = BC$，所以 $AF = 2CD$。

答案：
(1) 因为 $AD\perp BC$，$CE\perp AB$，所以 $\angle AEC=\angle CEB=\angle ADB = 90^{\circ}$，所以 $\angle BAD+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCE+\angle B = 90^{\circ}$，所以 $\angle EAF=\angle ECB$，在 $\triangle AEF$ 和 $\triangle CEB$ 中，因为 $\angle EAF=\angle ECB$，$AE = CE$，$\angle AEF=\angle CEB$，所以 $\triangle AEF\cong\triangle CEB(ASA)$。
(2) 因为 $AB = AC$，$AD\perp BC$，所以 $BD = CD$，即 $BC = 2CD$。又因为 $\triangle AEF\cong\triangle CEB$，所以 $AF = BC$，所以 $AF = 2CD$。