《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

18. 规定：若实数 $ x $,$ y $,$ z $ 满足 $ x ^ { z } = y $,则记作 $ ( x , z ) = y $。
(1)根据题意,$ ( 5 , w ) = 125 $,则 $ w = $______3。
(2)若记 $ ( 5 , a ) = 6 $,$ ( 5 , b ) = 10 $,$ ( 5 , c ) = 600 $。试写出 $ a $,$ b $,$ c $ 三者之间的关系式。$a + 2b = c$

答案：
(1)由定义可知，$5^{w} = 125$，因为 $5^{3} = 125$，所以 $w = 3$。故答案为：3。
(2)由定义可知：$5^{a} = 6$，$5^{b} = 10$，$5^{c} = 600$，因为 $600 = 6×10×10$，所以 $5^{a}·5^{b}·5^{b} = 5^{c}$，所以 $5^{a + 2b} = 5^{c}$，所以 $a + 2b = c$。

19. 知识生成：我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。例如：由图 1 可以得到 $ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } $,基于此,请解答下列问题。
(1)直接应用：若 $ x y = 5 $,$ x + y = 7 $,直接写出 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 的值为______39。
(2)类比应用：填空。
① 若 $ x ( 4 - x ) = 2 $,则 $ x ^ { 2 } + ( x - 4 ) ^ { 2 } = $______12；
② 若 $ ( x - 3 ) ( x - 5 ) = 2 $,则 $ ( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x - 5 ) ^ { 2 } = $______8。
(3)知识迁移：如图 2,一农家乐准备在原有长方形用地(即长方形 $ A B C D $)上进行装修和扩建,先用长为 $ 120 \mathrm { m } $ 的装饰性篱笆围起该长方形用地,再以 $ A D $,$ C D $ 为边分别向外扩建正方形 $ A D G H $、正方形 $ D C E F $ 的空地,并在这两块正方形空地上建造功能性花园,该功能性花园面积和为 $ 2000 \mathrm { m } ^ { 2 } $,求原有长方形用地 $ A B C D $ 的面积。

答案：
(1) $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy = 7^{2} - 2×5 = 39$，故答案为：39。
(2)① $x^{2} + (x - 4)^{2} = x^{2} + (4 - x)^{2} = [x + (4 - x)]^{2} - 2x(4 - x) = 4^{2} - 2×2 = 12$，故答案为：12；②因为 $(x - 3)(x - 5) = 2$，所以 $(x - 3)(5 - x) = - 2$，$(x - 3)^{2} + (x - 5)^{2} = (x - 3)^{2} + (5 - x)^{2} = [(x - 3) + (5 - x)]^{2} - 2(x - 3)(5 - x) = 2^{2} - 2×(- 2) = 8$，故答案为：8。
(3)设 $AB = xm$，$BC = ym$，则 $2(x + y) = 120$，所以 $x + y = 60$；由题意得 $x^{2} + y^{2} = 2000$，因为 $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$，所以 $2xy = (x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 60^{2} - 2000 = 1600$。所以 $xy = 800$。所以原有长方形用地 $ABCD$ 的面积为 $800m^{2}$。