《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

18. 如图,已知 $ AB // CD $,$ ∠1 = ∠2 = 80^{\circ} $。
(1)判断 $ AE $,$ BF $ 是否平行,并说明理由。
答：平行。理由：因为$AB// CD$，所以$∠2=∠CDF$（两直线平行，同位角相等）。因为$∠1=∠2$，所以$∠1=∠CDF$，所以$AE// BF$（内错角相等，两直线平行）。
(2)若 $ CF $ 平分 $ ∠DCE $,求 $ ∠3 $ 的度数。
答：50°。理由：因为$∠1=80^{\circ },∠ECD+∠1=180^{\circ }$，所以$∠ECD=180^{\circ }-∠1=100^{\circ }$。因为$CF$平分$∠DCE$，所以$∠ECF=∠FCD=50^{\circ }$。因为$AE// BF$，所以$∠3=∠ECF=50^{\circ }$（两直线平行，内错角相等）。

答案：
(1)因为$AB// CD$，所以$∠2=∠CDF$（两直线平行，同位角相等）。因为$∠1=∠2$，所以$∠1=∠CDF$，所以$AE// BF$（内错角相等，两直线平行）。
(2)因为$∠1=80^{\circ },∠ECD+∠1=180^{\circ }$，所以$∠ECD=180^{\circ }-∠1=100^{\circ }$。因为$CF$平分$∠DCE$，所以$∠ECF=∠FCD=50^{\circ }$。因为$AE// BF$，所以$∠3=∠ECF=50^{\circ }$（两直线平行，内错角相等）。

19. 如图,直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $,$ OF $,$ OD $ 分别是 $ ∠AOE $,$ ∠BOE $ 的平分线。
(1)写出 $ ∠DOE $ 的两个补角。∠COE,∠AOD（或∠COE,∠BOC 或∠AOD,∠BOC）
(2)若 $ ∠DOE = 30^{\circ} $,求 $ ∠BOC $ 和 $ ∠EOF $ 的度数。∠BOC=150°,∠EOF=60°
(3)试问射线 $ OD $ 与 $ OF $ 之间有什么特殊的位置关系？为什么？射线OD与OF互相垂直。理由如下：由(2)可知，∠DOE=1/2∠BOE,∠EOF=1/2∠AOE，所以∠DOF=∠DOE+∠EOF=1/2(∠BOE+∠AOE)=90°，即OD⊥OF。所以射线OD与OF互相垂直。

答案：
(1)因为$OD$是$∠BOE$的平分线，所以$∠DOE=∠BOD$，因为$∠BOD=∠AOC$，所以$∠DOE=∠BOD=∠AOC$，因为$∠COE+∠DOE=180^{\circ },∠DOE+∠AOD=∠AOC+∠AOD=180^{\circ },∠DOE+∠BOC=∠BOD+∠BOC=180^{\circ }$，所以$∠COE,∠AOD,∠BOC$是$∠DOE$的补角。（任选 2 个角即可）
(2)因为$OD$是$∠BOE$的平分线，所以$∠BOD=∠DOE=\frac {1}{2}∠BOE=30^{\circ }$，所以$∠BOE=60^{\circ },∠BOC=180^{\circ }-∠BOD=150^{\circ }$，所以$∠AOE=180^{\circ }-∠BOE=120^{\circ }$，因为$OF$是$∠AOE$的平分线，所以$∠EOF=\frac {1}{2}∠AOE=60^{\circ }$，故$∠BOC=150^{\circ },∠EOF=60^{\circ }$。
(3)射线$OD$与$OF$互相垂直。理由如下：由
(2)可知，$∠DOE=\frac {1}{2}∠BOE,∠EOF=\frac {1}{2}∠AOE$，所以$∠DOF=∠DOE+∠EOF=\frac {1}{2}(∠BOE+∠AOE)=90^{\circ }$，即$OD⊥OF$。所以射线$OD$与$OF$互相垂直。