《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 如图,$AC⊥BC,DC⊥EC,∠D= ∠E,DC= EC$,AE 与 BD 交于点 F。
(1)求证:$AE= BD$。
(2)求$∠AFD$的度数。
证明:(1)因为$AC⊥BC,DC⊥EC$,所以$∠ACB= ∠ECD= 90^{\circ }$,所以$∠ACB+∠BCE= ∠ECD+∠BCE$,即$∠ACE= ∠BCD$。在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ACE= ∠BCD,\\ CE= CD,\\ ∠E= ∠D,\end{array}\right. $所以$\triangle ACE\cong \triangle BCD$(ASA),所以$AE= BD$。
(2)因为$∠E= ∠D$,又因为$∠EFG+∠FGE+∠E= 180^{\circ },∠GCD+∠CGD+∠D= 180^{\circ }$,且$∠BGE= ∠CGD$,所以$∠EFG= ∠GCD= 90^{\circ }$,所以$∠AFD= $90°。

答案： 分析:
(1)利用角的等量代换求出$∠ACE= ∠BCD$,再利用 ASA 判断$\triangle ACE\cong \triangle BCD$即可求解。
(2)利用全等三角形的性质得到$∠E= ∠D$,再通过角的等量代换求解即可。
答案:证明:
(1)因为$AC⊥BC,DC⊥EC$,所以$∠ACB= ∠ECD= 90^{\circ }$,所以$∠ACB+∠BCE= ∠ECD+∠BCE$,即$∠ACE= ∠BCD$。在$\triangle ACE和\triangle BCD$
$\left\{\begin{array}{l} ∠ACE= ∠BCD,\\ CE= CD,\\ ∠E= ∠D,\end{array}\right. 所以\triangle ACE\cong \triangle BCD(ASA)$,所以$AE= BD$。
(2)因为$∠E= ∠D$,又因为$∠EFG+∠FGE+∠E= 180^{\circ },∠GCD+∠CGD+∠D= 180^{\circ }$,且$∠BGE= ∠CGD$,所以$∠EFG= ∠GCD= 90^{\circ }$,所以$∠AFD= 90^{\circ }$。
反思:逆推分析法是从要证明的结论出发,根据已学的定义、性质、判定定理,逆向寻找能使结论成立所需的条件,这样一步一步逆推,一直找到能使结论成立的条件为止,这种逆推分析的方法是探求论证过程的一种极为有效的思路。