《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

9. 数学活动课上,老师准备了若干张如图1所示的三种纸片,A种纸片是边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片是长为b,宽为a的长方形,并用一张A种纸片,一张B种纸片,两张C种纸片拼成了如图2所示的大正方形。
(1)请用两种不同的方法求图2中大正方形的面积:(用含a,b的式子表示)
方法1: $(a + b)^{2}$;
方法2: $a^{2}+2ab + b^{2}$。
(2)观察图2,请写出代数式$(a+b)^{2},a^{2}+b^{2},$ab之间的等量关系式 $(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$。
(3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题。
①已知$a+b= 6,a^{2}+b^{2}= 26$,求ab的值;
ab=5
②已知$(x-2022)^{2}+(x-2024)^{2}= 48$,求$(x-2023)^{2}$的值。
$(x-2023)^{2}=$23

答案：
(1) 方法 1：大正方形的边长为 $(a + b)$，所以 $S = (a + b)^{2}$；方法 2：大正方形面积 = 各个部分面积之和，所以 $S = a^{2}+2ab + b^{2}$。故答案为：$(a + b)^{2}$；$a^{2}+2ab + b^{2}$。
(2) 由图 2 可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即 $(a + b)^{2}-2ab = a^{2}+b^{2}$，所以 $(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$，故答案为：$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$。
(3) ①因为 $a + b = 6$，所以 $(a + b)^{2}=36$，因为 $a^{2}+b^{2}=26$，所以 $2ab=(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})=36 - 26 = 10$，所以 $ab = 5$；②令 $a = x - 2023$，所以 $x - 2022 = x -(2023 - 1)=x - 2023 + 1 = a + 1$，$x - 2024 = x -(2023 + 1)=x - 2023 - 1 = a - 1$，因为 $(x - 2022)^{2}+(x - 2024)^{2}=48$，所以 $(a + 1)^{2}+(a - 1)^{2}=48$，解得 $a^{2}=23$，所以 $(x - 2023)^{2}=a^{2}=23$。

10. 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种方法。它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法。这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题。例如：$x^{2}-2x+3= (x^{2}-2x+1)+2= (x-1)^{2}+2$,当$x= 1$时,多项式$x^{2}-2x+3$有最小值2。
【解决问题】(1)对于多项式$2x^{2}+8x+11$,当$x= $-2时,有最小值是3。
【探究问题】(2)已知$x^{2}+2y^{2}-4x+4y+6= 0$,求$x+y$的值。1
【拓展结论】(3)已知x,y满足$-x^{2}+\frac {2}{3}x-y+1= 0$,求$7x-3y$的最小值。$-\frac{61}{12}$

答案：
(1) $2x^{2}+8x + 11 = 2(x^{2}+4x)+11 = 2(x^{2}+4x + 4 - 4)+11 = 2(x + 2)^{2}+3$。所以当 $x = -2$ 时，$2x^{2}+8x + 11$ 有最小值 3。故答案为：-2，3。
(2) 因为 $x^{2}+2y^{2}-4x + 4y + 6=(x - 2)^{2}+2(y + 1)^{2}=0$，所以 $x = 2$，$y = -1$，所以 $x + y = 1$。
(3) 因为 $-x^{2}+\frac{2}{3}x - y + 1 = 0$，所以 $-y = x^{2}-\frac{2}{3}x - 1$，所以 $-3y = 3x^{2}-2x - 3$，所以 $7x - 3y = 3x^{2}+5x - 3 = 3(x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}-\frac{25}{36})-3 = 3(x+\frac{5}{6})^{2}-\frac{61}{12}$，所以当 $x = -\frac{5}{6}$ 时，$7x - 3y$ 的最小值为 $-\frac{61}{12}$。