《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

5. 如图所示,点$E$,$F在BC$上,$BE = CF$,$AB = DC$,$∠B = ∠C$。求证:$∠A = ∠D$。
证明：因为 $ B E = C F $，所以 $ B E + E F = C F + E F $，所以 $ B F = C E $，在 $ \triangle A B F $ 和 $ \triangle D C E $ 中，因为 $ \left\{ \begin{array} { l } { A B = D C, } \\ { \angle B = \angle C, } \\ { B F = C E, } \end{array} \right. $ 所以 $ \triangle A B F \cong \triangle D C E ( S A S ) $。所以 $ \angle A = \angle D $。

答案： 因为 $ B E = C F $，所以 $ B E + E F = C F + E F $，所以 $ B F = C E $，在 $ \triangle A B F $ 和 $ \triangle D C E $ 中，因为 $ \left\{ \begin{array} { l } { A B = D C, } \\ { \angle B = \angle C, } \\ { B F = C E, } \end{array} \right. $ 所以 $ \triangle A B F \cong \triangle D C E ( S A S ) $。所以 $ \angle A = \angle D $。

6. 如图,已知在$\triangle ABC$,$\triangle ADE$中,$∠BAC = ∠DAE = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AD = AE$,$C$,$D$,$E$三点在同一条直线上,连结$BD$。
(1)求证:$\triangle BAD\cong \triangle CAE$。
证明：因为 $ \angle B A C = \angle D A E = 90 ^ { \circ } $，所以 $ \angle B A C + \angle C A D = \angle D A E + \angle C A D $，即 $ \angle B A D = \angle C A E $，在 $ \triangle B A D $ 和 $ \triangle C A E $ 中，因为 $ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A C, } \\ { \angle B A D = \angle C A E, } \\ { A D = A E, } \end{array} \right. $ 所以 $ \triangle B A D \cong \triangle C A E $SAS。
(2)若$BD = 12$,求$CE$的长。
解：因为 $ \triangle B A D \cong \triangle C A E $，所以 $ C E = B D = $12。

答案：
(1) 因为 $ \angle B A C = \angle D A E = 90 ^ { \circ } $，所以 $ \angle B A C + \angle C A D = \angle D A E + \angle C A D $，即 $ \angle B A D = \angle C A E $，在 $ \triangle B A D $ 和 $ \triangle C A E $ 中，因为 $ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A C, } \\ { \angle B A D = \angle C A E, } \\ { A D = A E, } \end{array} \right. $ 所以 $ \triangle B A D \cong \triangle C A E ( S A S ) $。
(2) 因为 $ \triangle B A D \cong \triangle C A E $，所以 $ C E = B D = 12 $。

1. 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成角边角或ASA)。
符号语言：
在$\triangle ABC和\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$中,
因为$\left\{\begin{array}{l} \angle B= \angle B_1,\\ AB=A_1B_1,\\ \angle A= \angle A_1,\end{array}\right.$
所以$\triangle ABC\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}(ASA)$。
2. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成角角边或AAS)。
符号语言：
在$\triangle ABC和\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$中,
因为$\left\{\begin{array}{l} \angle A= \angle A_1,\\ \angle B=\angle B_1,\\ BC= B_1C_1,\end{array}\right.$
所以$\triangle ABC\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}(AAS)$。
1. 全等三角形判定:SSS,SAS,ASA(AAS)。AAS 可看作 ASA 的一个推论。要注意两角一边对应相等的两个三角形全等,但两边一角对应相等的两个三角形不一定全等。
2. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等。两个三角形全等必须至少有一条边相等。
3. 判断:两角一边相等的两个三角形全等。…(×)
可举反例:如图,在直角三角形 ACD 和直角三角形 BAD 中,$∠C= ∠BAD= 60^{\circ },AD= AD$,满足两角和一边相等,但两三角形显然不全等,其本质是缺少“对应”,据$∠CAD= ∠B= 30^{\circ }$,则它们的对边 CD,AD 为对应边,显然对应边不相等。

答案： 1. 夹边 角边角 ASA $ \angle B $ $ \angle B_1 $ $ AB $ $ A_1B_1 $ $ \angle A $ $ \angle A_1 $
2. 对边 角角边 AAS $ \angle A $ $ \angle A_1 $ $ \angle B $ $ \angle B_1 $ $ BC $ $ B_1C_1 $