《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 如图,已知$A,B,D,F$在同一直线上,$AD= BF,AC= DE,BC= FE$。若$∠A= 68^{\circ },∠E= 24^{\circ }$,求$∠ABC$的度数。

解：因为$AD= BF$,所以$AD-BD= BF-BD$,即$AB= DF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中,因为$\left\{\begin{array}{l} AB= FD,\\ BC= FE,\\ AC= DE,\end{array}\right. $所以$\triangle ABC\cong \triangle DFE$(SSS),所以$∠C= ∠E= 24^{\circ }$。因为$∠A+∠ABC+∠C= 180^{\circ },∠A= 68^{\circ }$,所以$∠ABC= $$88^{\circ }$。

答案： 答案：因为$AD= BF$,所以$AD-BD= BF-BD$,即$AB= DF$。在$\triangle ABC和\triangle DFE$中,因为$\left\{\begin{array}{l} AB= FD,\\ BC= FE,\\ AC= DE,\end{array}\right. 所以\triangle ABC\cong \triangle DFE(SSS)$,所以$∠C= ∠E= 24^{\circ }$。因为$∠A+∠ABC+∠C= 180^{\circ },∠A= 68^{\circ }$,所以$∠ABC= 88^{\circ }$。
反思：充分利用已知条件,寻找全等三角形进行线段或角的转化。当图形中没有直接显示全等的条件时,可以通过适当的计算转化。

例2 如图,点$E,F分别在AB,BC$上,连结$EF,BE= CD,BF= CA,EF= AD$。
(1)求证：$∠2= ∠D$。
证明：因为在$\triangle BEF和\triangle CDA$中,$\left\{\begin{array}{l} BE= CD,\\ BF= CA,\\ EF= AD,\end{array}\right. 所以\triangle BEF\cong \triangle CDA$(SSS),所以$∠2= ∠D$。
(2)若$EF// AC,∠D= 80^{\circ },∠1= 40^{\circ }$,求$∠ACB$的度数。
解：因为$\triangle BEF\cong \triangle CDA$,所以$∠2= ∠D= 80^{\circ },∠B= ∠1= 40^{\circ }$,因为$EF// AC$,所以$∠BAC= ∠2= 80^{\circ }$,所以$∠ACB= 180^{\circ }-∠B-∠BAC= $60°。

答案： 分析：
(1)由已知$BE= CD,BF= CA,EF= AD$,可得$\triangle BEF和\cong \triangle CDA$,根据全等三角形对应角相等,即可得结论。
(2)根据全等三角形对应角相等,可得$∠2与∠B$度数,根据$EF// AC$,可得$∠BAC$度数,最后利用三角形内角和$180^{\circ }$,求得$∠ACB$的度数。
答案：
(1)证明：因为在$\triangle BEF和\triangle CDA$中,$\left\{\begin{array}{l} BE= CD,\\ BF= CA,\\ EF= AD,\end{array}\right. 所以\triangle BEF\cong \triangle CDA(SSS)$,所以$∠2= ∠D$。
(2)因为$\triangle BEF\cong \triangle CDA$,所以$∠2= ∠D= 80^{\circ },∠B= ∠1= 40^{\circ }$,因为$EF// AC$,所以$∠BAC= ∠2= 80^{\circ }$,所以$∠ACB= 180^{\circ }-∠B-∠BAC= 60^{\circ }$。
反思：利用已知条件,找到全等三角形,再利用全等三角形性质、平行线性质及三角形内角和定理,计算角度。