《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

18. 仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:已知关于$x的多项式x^{2}-4x+m有一个因式是(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值。
解:设另一个因式为$(x+n)$,得$x^{2}-4x+m= (x+3)(x+n)$,则$x^{2}-4x+m= x^{2}+(n+3)x+3n$,
所以$\left\{\begin{array}{l} n+3= -4,\\ m= 3n,\end{array}\right. 解得\left\{\begin{array}{l} n= -7,\\ m= -21。\end{array}\right. 所以另一个因式为(x-7)$,$m的值为-21$。
问题:仿照以上方法解答下面问题。
(1)二次三项式$x^{2}+5x-p有一个因式是(x-1)$,求$p$的值。
(2)已知关于$x的多项式2x^{2}+3x-k有一个因式是(2x+5)$,求另一个因式以及$k$的值。
(1)设二次三项式 $ x^{2}+5x - p $ 的另一个因式为 $ (x + n) $，则 $ x^{2}+5x - p=(x - 1)(x + n) $，即 $ x^{2}+5x - p=x^{2}+(n - 1)x - n $，所以 $ \begin{cases}n - 1 = 5,\\ - p=-n,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}n = 6,\\ p = 6,\end{cases} $ 故 $ p $ 的值为 6。
(2)设关于 $ x $ 的多项式 $ 2x^{2}+3x - k $ 的另一个因式是 $ (x + n) $，则 $ 2x^{2}+3x - k=(2x + 5)(x + n) $，即 $ 2x^{2}+3x - k=2x^{2}+(2n + 5)x + 5n $，所以 $ \begin{cases}2n + 5 = 3,\\ 5n=-k,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}n=-1,\\ k = 5,\end{cases} $ 所以关于 $ x $ 的多项式 $ 2x^{2}+3x - k $ 的另一个因式是 $ (x - 1) $，$ k = 5 $。

答案： 18.
(1)设二次三项式 $ x^{2}+5x - p $ 的另一个因式为 $ (x + n) $，则 $ x^{2}+5x - p=(x - 1)(x + n) $，即 $ x^{2}+5x - p=x^{2}+(n - 1)x - n $，所以 $ \begin{cases}n - 1 = 5,\\ - p=-n,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}n = 6,\\ p = 6,\end{cases} $ 故 $ p $ 的值为 6。
(2)设关于 $ x $ 的多项式 $ 2x^{2}+3x - k $ 的另一个因式是 $ (x + n) $，则 $ 2x^{2}+3x - k=(2x + 5)(x + n) $，即 $ 2x^{2}+3x - k=2x^{2}+(2n + 5)x + 5n $，所以 $ \begin{cases}2n + 5 = 3,\\ 5n=-k,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}n=-1,\\ k = 5,\end{cases} $ 所以关于 $ x $ 的多项式 $ 2x^{2}+3x - k $ 的另一个因式是 $ (x - 1) $，$ k = 5 $。

19. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程。
解:设$x^{2}-4x= y$,原式$=(y+2)(y+6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y+16$(第二步)
$=(y+4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C)。
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?不彻底。(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果。$(x - 2)^{4}$
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1$进行因式分解。
设$x^{2}+2x = y$，$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x + 2)+1=y(y + 2)+1=y^{2}+2y + 1=(y + 1)^{2}=(x^{2}+2x + 1)^{2}=(x + 1)^{4}$。

答案： 19.
(1)C
(2)不彻底 $ (x - 2)^{4} $
(3)设 $ x^{2}+2x = y $，$ (x^{2}+2x)(x^{2}+2x + 2)+1=y(y + 2)+1=y^{2}+2y + 1=(y + 1)^{2}=(x^{2}+2x + 1)^{2}=(x + 1)^{4} $。