《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 如图,$∠AFD= ∠1,DF// BC$。
(1)证明:$AC// DE$。
(2)若$∠1= 75^{\circ }$,DF平分$∠ADE$,求$∠B$的度数。
证明:(1)因为$DF// BC$(已知),
所以$∠AFD= ∠C$(两直线平行,同位角相等)。
因为$∠AFD= ∠1$(已知),
所以$∠C= ∠1$(等量代换),
所以$AC// DE$。
(2)因为$DF// BC$(已知),
所以$∠FDE= ∠1= 75^{\circ }$(两直线平行,内错角相等)。
因为DF平分$∠ADE$(已知),
所以$∠ADF= ∠FDE= 75^{\circ }$(角平分线意义),
因为$DF// BC$(已知),
所以$∠B= ∠ADF= 75^{\circ }$(两直线平行,同位角相等)。
$∠B$的度数为75°。

答案： 分析:
(1)要证明$AC// DE$,只要证明$∠C= ∠1$,已知$DF// BC$,可得$∠AFD= ∠C$,已知$∠AFD= ∠1$,通过等量代换,即可得$∠C= ∠1$;
(2)由$DF// BC$,可得$∠B= ∠ADF$,及$∠FDE= ∠1= 75^{\circ }$,而DF平分$∠ADE$,可得$∠ADF= ∠FDE$,通过等量代换,可求得$∠B$的度数。
答案:证明:
(1)因为$DF// BC$(已知),
所以$∠AFD= ∠C$(两直线平行,同位角相等)。
因为$∠AFD= ∠1$(已知),
所以$∠C= ∠1$(等量代换),
所以$AC// DE$。
(2)因为$DF// BC$(已知),
所以$∠FDE= ∠1= 75^{\circ }$(两直线平行,内错角相等)。
因为DF平分$∠ADE$(已知),
所以$∠ADF= ∠FDE= 75^{\circ }$(角平分线意义),
因为$DF// BC$(已知),
所以$∠B= ∠ADF= 75^{\circ }$(两直线平行,同位角相等)。
反思:要利用平行线的判定证明两直线平行,关键是找到一对同位角,或内错角,或同旁内角,从而证明两直线平行。已知的一对相等的角是没有关系的,因此要找到第三个角,利用等量代换转化为同位角,或内错角,或同旁内角,即可判定两直线平行。

例2 图形的世界丰富且充满变化,用数学的眼光观察它们,奇妙无比。
(1)如图,$EF// CD$,数学课上,老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件,使得$∠BEF= ∠CDG$,并给出证明过程。
小丽添加的条件:$∠B+∠BDG= 180^{\circ }$。请你帮小丽将下面的证明过程补充完整。
证明:因为$EF// CD$(已知),
所以$∠BEF= $∠BCD(两直线平行,同位角相等),
因为$∠B+∠BDG= 180^{\circ }$(已知),
所以$BC// $DG(同旁内角互补,两直线平行),
所以$∠CDG= $∠BCD(两直线平行,内错角相等),
所以$∠BEF= ∠CDG$(等量代换)。
(2)拓展:如上图,请你从三个选项①$DG// BC$,②DG平分$∠ADC$,③$∠B= ∠BCD$中任选出两个作为条件,另一个作为结论,组成一个真命题,并加以证明。
①条件:DG// BC,∠B= ∠BCD,结论:DG平分∠ADC。
②证明:
因为DG// BC,所以∠ADG= ∠B,∠CDG= ∠BCD,因为∠B= ∠BCD,所以∠ADG= ∠CDG,即DG平分∠ADC。

答案： 分析:利用平行线的性质和判定结合图形与已知,一步一步完成推理。
答案:
(1)证明:因为$EF// CD$(已知),所以$∠BEF= ∠BCD$(两直线平行,同位角相等),因为$∠B+∠BDG= 180^{\circ }$(已知),所以$BC// DG$(同旁内角互补,两直线平行),所以$∠CDG= ∠BCD$(两直线平行,内错角相等),所以$∠BEF= ∠CDG$(等量代换)。
(2)①条件:$DG// BC,∠B= ∠BCD$,结论:DG平分$∠ADC$。(答案不唯一)
②证明:因为$DG// BC$,所以$∠ADG= ∠B,∠CDG= ∠BCD$,因为$∠B= ∠BCD$,所以$∠ADG= ∠CDG$,即DG平分$∠ADC$。
反思:在两直线平行的性质和判定的应用过程中,要重视“角的转化”这个桥梁作用。