《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 如图,已知$AB = AC$,点$D$,$E分别在AC$,$AB$上,$BE = CD$,求证:(1)$\triangle ABD\cong \triangle ACE$(SAS)。(2)$∠BEO = ∠CDO$(已证$\triangle ABD\cong \triangle ACE$，所以$∠ADB = ∠AEC$，故$∠BEO = ∠CDO$)。

答案： 分析:在说明全等的两个三角形中,由已知条件可证两组边相等,尚缺一个条件。观察图形可知,这两个三角形刚好有一对公共角,满足了$SAS$的条件。
答案:证明:
(1)因为$AB = AC$,$BE = CD$,所以$AE = AD$,在$\triangle ABD和\triangle ACE$中,因为$\left\{\begin{array}{l}AB = AC,\\ ∠A = ∠A,\\ AD = AE,\end{array}\right.所以\triangle ABD\cong \triangle ACE(SAS)$。
(2)因为$\triangle ABD\cong \triangle ACE$,所以$∠ADB = ∠AEC$,所以$∠BEO = ∠CDO$。
反思:已知两边对应相等证两个三角形全等,一般都是找相等两边的夹角是否相等。

例2 已知:如图,$AB = AD$,$CB = CD$,$E$,$F分别是AB$,$AD$的中点。求证:$CE = CF$。

答案：
分析:要证明$CE = CF$,只需要找到一对全等三角形,因此考虑连结$AC$,先证明$\triangle ABC\cong \triangle ADC$,得到$∠B = ∠D$,再证明$\triangle BEC\cong \triangle DFC$即可。
答案:证明:如图,连结$AC$,在$\triangle ABC和\triangle ADC$中,因为$\left\{\begin{array}{l}AB = AD,\\ CB = CD,\\ AC = AC,\end{array}\right.所以\triangle ABC\cong \triangle ADC(SSS)$,所以$∠B = ∠D$,因为$E$,$F分别为AB$,$AD$的中点,所以$BE= \frac{1}{2}AB$,$FD= \frac{1}{2}AD$,因为$AB = AD$,所以$BE = FD$,在$\triangle BEC和\triangle DFC$中,因为$\left\{\begin{array}{l}BE = DF,\\ ∠B = ∠D,\\ BC = DC,\end{array}\right.所以\triangle BEC\cong \triangle DFC(SAS)$,所以$CE = CF$。
反思:要证明线段或者角相等,常用的办法是找到一对全等三角形,如果没有的话,可以添加辅助线构造一对全等三角形,这样可以运用全等三角形性质得到对应边相等或对应角相等。