《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 填空。
(1)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,若$∠A= 50^{\circ }$,则$∠B= $$65^{\circ }$。
(2)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,若$∠B= 50^{\circ }$,则$∠A= $$80^{\circ }$。
(3)若等腰三角形的一个角为$80^{\circ }$,则顶角为$20^{\circ }或80^{\circ }$。

答案： 分析:给出的条件中,若顶角或底角已确定,直接利用三角形内角和定理与等腰三角形的性质求解;若给出的条件中顶角不确定,则要分情况讨论。
(1)因为$AB= AC$,所以$∠B= ∠C$(等边对等角)。因为$∠A+∠B+∠C= 180^{\circ }$(三角形内角和定理),所以$50^{\circ }+2∠B= 180^{\circ }$,所以$∠B= 65^{\circ }$。
(2)因为$AB= AC$,所以$∠B= ∠C$(等边对等角)。又因为$∠A+∠B+∠C= 180^{\circ },∠B= 50^{\circ }$,所以$∠A= 80^{\circ }$。
(3)当底角为$80^{\circ }$时,设顶角为$x$。因为$80^{\circ }+80^{\circ }+x= 180^{\circ }$,所以$x= 20^{\circ }$;当顶角为$80^{\circ }$时,底角为$(180^{\circ }-80^{\circ })÷2= 50^{\circ }$。所以顶角为$20^{\circ }或80^{\circ }$。
答案:
(1)$65^{\circ }$
(2)$80^{\circ }$
(3)$20^{\circ }或80^{\circ }$
反思:计算等腰三角形内角度数时,需要考虑角的位置情况,特别是没有明确给出图形的题目,有时需要考虑多种角的位置情况。

例2 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= DC= DB,∠ACD= 100^{\circ }$,求$∠B$的度数。

答案:20°

答案： 分析:因为$AC= DC$,所以$∠A= ∠ADC$。因为$∠A+∠ADC+∠ACD= 180^{\circ }$,所以$∠ADC= \frac {180^{\circ }-∠ACD}{2}= \frac {180^{\circ }-100^{\circ }}{2}= 40^{\circ }$。因为$DC= DB$,所以$∠B= ∠DCB$。因为$∠ADC= ∠B+∠DCB$,所以$∠B= \frac {1}{2}∠ADC= \frac {1}{2}×40^{\circ }=20^{\circ }$。
答案:$20^{\circ }$
反思:几何图形中“隐藏”有多个等腰三角形时,需要看清图形的特点,再利用“在同一三角形中,等边对等角”的性质进行计算。