《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例2 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,$AE是\triangle ACD$的中线。
(1)若已知$DE= 3$,则$BD= $6,$BE= $9,$BC= $12。
(2)若已知$\triangle ABC$的面积为24,求$\triangle ABD与\triangle ADE$的面积。
$\triangle ABD$的面积为12，$\triangle ADE$的面积为6。

答案： 分析:由$AD是\triangle ABC$的中线,$AE是\triangle ACD$的中线,可得$BD= CD,DE= CE,S_{\triangle ABD}= S_{\triangle ACD},S_{\triangle ADE}= S_{\triangle ACE}$。
答案:
(1)6 9 12
(2)因为$AD是\triangle ABC$的中线,$AE是\triangle ACD$的中线,所以$BD= CD,DE= CE$,所以$S_{\triangle ABD}= S_{\triangle ACD}= \frac {1}{2}S_{\triangle ABC}= 12,S_{\triangle ADE}= S_{\triangle ACE}= \frac {1}{2}S_{\triangle ACD}= 6$。
反思:三角形的中线把三角形的面积平分,本质上是等底同高的两个三角形面积相等的应用。

例3 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD,CE分别是\triangle ABC$的高线和角平分线。
(1)若$∠DCE= 15^{\circ }$,求$∠CEB$的大小。105°
(2)若$∠A-∠B= 30^{\circ }$,求$∠ECD$的大小。15°

答案： 分析:
(1)由$CD是AB$边上的高线,结合$\triangle CDE内角和180^{\circ }$,可求得$∠CED$度数,从而求得$∠CEB$度数。
(2)由$\triangle ABC内角和180^{\circ }$,求得$∠A+∠B$,结合$∠A-∠B= 30^{\circ }$,求得$∠A与∠B$度数,再根据角平分线定义,及$\triangle CEB内角和180^{\circ }$,可求得$∠CEB$度数,从而求得$∠ECD$度数。
答案:
(1)因为$CD是AB$边上的高线,所以$∠CDE= 90^{\circ }$,因为$∠DCE= 15^{\circ }$,所以$∠CED= 180^{\circ }-∠DCE-∠CDE= 75^{\circ }$,所以$∠CEB= 105^{\circ }$。
(2)因为$∠ACB= 90^{\circ }$,所以$∠A+∠B= 180^{\circ }-∠ACB= 90^{\circ }$,因为$∠A-∠B= 30^{\circ }$,所以$∠A= 60^{\circ },∠B= 30^{\circ }$,因为$∠ACB= 90^{\circ },CE是\triangle ABC$的角平分线,所以$∠ECB= \frac {1}{2}∠ACB= 45^{\circ }$,所以$∠CEB= 180^{\circ }-∠B-∠ECB= 105^{\circ }$,由
(1)可得$∠ECD= 15^{\circ }$。
反思:角度的计算,本质是三角形内角和等于$180^{\circ }$这一性质的应用,结合三角形的角平分线、高线的性质进行角度的计算。