《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

7. 图1是一个长为$ 2 a $,宽为$ 2 b $的长方形,沿图中虚线剪开分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形。
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是$a-b$。
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积。
方法1:$ S _ { 阴影 } = $$(a-b)^{2}$;
方法2:$ S _ { 阴影 } = $$(a+b)^{2}-4ab$。
(3)观察图2,写出$ ( a + b ) ^ { 2 } , ( a - b ) ^ { 2 } , a b $这三个代数式之间的等量关系。
$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$
(4)根据(3)题中的等量关系,解决问题:若$ m + n = 10 , m - n = 6 $,求$ m n $的值。
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答案：
(1)$a-b$
(2)$(a-b)^{2}$ $(a+b)^{2}-4ab$
(3)$(a+b)^{2},(a-b)^{2}$,ab这三个代数式之间的等量关系为:$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$。
(4)根据
(3)题中的结论得$(m-n)^{2}=(m+n)^{2}-4mn$,因为$m+n=10,m-n=6$,所以$36=100-4mn$,所以$mn=16$。

8. 把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积。例如,由图1,可得等式:$ ( a + 2 b ) ( a + b ) = a ^ { 2 } + 3 a b + 2 b ^ { 2 } $。
(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为$ a + b + c $的正方形,试用不同的形式表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论? 请用等式表示出来 。
$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知$ a + b + c = 11 , a b + b c + a c = 38 $,求$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } $的值。
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(3)如图3,将两个边长分别为$ a 和 b $的正方形拼在一起,$ B , C , G $三点在同一直线上,连结$ B D 和 B F $。若这两个正方形的边长满足$ a + b = 10 , a b = 20 $,请求出阴影部分的面积。
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答案：
(1)图2大正方形边长为$a+b+c$,其面积为$(a+b+c)^{2}$,是由6个长方形,3个小正方形构成,其面积和为$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$,二者面积相等。故答案为:$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$。
(2)因为$a+b+c=11,ab+bc+ac=38,a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)=121-76=45$,故$a^{2}+b^{2}+c^{2}=45$。
(3)因为$S_{阴影}=\frac {1}{2}a^{2}+b^{2}-\frac {1}{2}(a+b)b=\frac {1}{2}a^{2}+\frac {1}{2}b^{2}-\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}(a+b)^{2}-\frac {3}{2}ab$。因为$a+b=10,ab=20,\frac {1}{2}(a+b)^{2}-\frac {3}{2}ab=\frac {1}{2}×10^{2}-\frac {3}{2}×20=50-30=20$。