《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例2 如图,在$△ABC$中,已知$AB= AC$,AD平分$∠BAC$,点M,N分别在AB,AC边上,$AM= 2MB,AN= 2NC$。求证:$DM= DN$。
证明:因为$AM= 2MB$,所以$MB= \frac {1}{3}AB$,同理$NC= \frac {1}{3}AC$,又因为$AB= AC$,所以$MB= NC$。又因为$AB= AC$,AD平分$∠BAC$,所以$BD= CD$,$∠B= ∠C$。在$△BMD$和$△CND$中,因为$\left\{\begin{array}{l} MB= NC,\\ ∠B= ∠C,\\ BD= CD,\end{array}\right. $所以$△BMD\cong △CND$(SAS),所以$DM= DN$。

答案： 分析:在等腰三角形ABC中,AD平分$∠BAC$,由等腰三角形三线合一性质可得$BD= CD$。又因为$AB= AC$,由等腰三角形的性质定理1可得$∠B= ∠C$。再结合题中条件易得$BM= CN$,从而可证$△BMD\cong △CND$。
答案:证明:因为$AM= 2MB$,所以$MB= \frac {1}{3}AB$,同理$NC= \frac {1}{3}AC$,又因为$AB= AC$,所以$MB= NC$。又因为$AB= AC$,AD平分$∠BAC$,所以$BD= CD$,$∠B= ∠C$。在$△BMD和△CND$中,因为$\left\{\begin{array}{l} MB= NC,\\ ∠B= ∠C,\\ BD= CD,\end{array}\right. 所以△BMD\cong △CND$,所以$DM= DN$。
反思:根据题目给出的条件,可以将等腰三角形“三线合一”的性质进行灵活运用,转换成自己所需要的条件。

1.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是 ……………………………… (D)
A.等腰三角形的两底角相等
B.等腰三角形的两腰相等
C.等腰三角形是轴对称图形
D.等腰三角形高线、中线、角平分线互相重合

答案： D

2.如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,D为BC的中点,$∠BAD= 35^{\circ },则∠C$的度数为 …………………………………………………… (C)

A.$35^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$55^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： C