《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

例1 如图,已知△ABC,P为BC边上一点,
(1)用直尺与圆规作线段AP的中垂线,交AC边于点E。(保留作图痕迹,不写作法)
(2)连结PE,已知AP= 6,△APC的周长为24,求△PCE的周长。
分析：(1)作AP的中垂线,交AC于点E即可。(2)△APC周长= AC+CP+AP,根据中垂线的性质,可以把EP转化成AE,那么EC+EP= EC+AE= AC,于是△PCE的周长= PC+CE+PE= PC+AC,进行求解即可。
答案：(1)作AP的中垂线,交AC于点E,如图即为所求作。(2)因为AP= 6,△APC周长= AC+CP+AP= 24,所以AC+CP= 24-6= 18,由线段中垂线性质,可知AE= PE,所以EC+EP= EC+AE= AC,所以△PCE的周长= PC+CE+PE= PC+AC= 18。
反思：求线段长度的和,可以把一些线段放在同一直线上以便求出结果,这种方法往往要用到转化思想,此题关键是利用中垂线的性质把PE转化成AE求解。

答案： 【解析】：
1. 对于（1），根据中垂线的作图方法，分别以$A$、$P$为圆心，大于$\frac{1}{2}AP$长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，该直线就是$AP$的中垂线，与$AC$边的交点即为$E$。
2. 对于（2），已知$AP = 6$，$\triangle APC$周长$=AC + CP + AP = 24$，所以$AC + CP = 24 - 6 = 18$。因为$E$在$AP$的中垂线上，根据线段中垂线性质，可知$AE = PE$，所以$EC + EP = EC + AE = AC$，那么$\triangle PCE$的周长$=PC + CE + PE = PC + AC$。
【答案】：
1. （1）按上述中垂线作图方法作出图形（略）。
2. （2）$18$。

例2 如图,在△ABC中,AD⊥BC,BD= DC。线段AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点F,连结BE。试问：线段AE与BE的长相等吗？请说明理由。

答案：
分析：连结CE,利用中垂线的性质,推出AE= CE,BE= CE,即可得出结论。
答案：相等,理由如下：如图,连结CE,因为AD⊥BC,BD= CD,所以AD垂直平分CB,所以BE= CE,因为线段AC的垂直平分线交AD于点E,所以AE= CE,所以AE= BE。
反思：当直接证明两条线段相等时,可以构造全等三角形,也可以直接运用线段中垂线性质,此题就是添加辅助线,通过等量代换,运用线段中垂线性质,达到目的。