《2025年暑假衔接七年级数学浙教版延边人民出版社》

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,D 是 AB 边上的一点,$DE⊥AB$于点 D,交 AC 于点 M,且$ED= AC$,过点 E 作$EF// BC$分别交 AB,AC 于点 F,N。
(1)求证:$\triangle ABC\cong \triangle EFD$。
证明：因为 $ DE \perp AB $ 于点 $ D $,所以 $ \angle EDF = 90^\circ $,因为 $ \angle C = 90^\circ $,所以 $ \angle C = \angle EDF $,因为 $ EF // BC $,所以 $ \angle B = \angle EFD $,在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle EFD $ 中,因为 $ \begin{cases} \angle C = \angle EDF, \\ \angle B = \angle EFD, \\ AC = ED, \end{cases} $ 所以 $ \triangle ABC \cong \triangle EFD$(AAS)。
(2)若$∠A= 25^{\circ }$,求$∠EMN$的度数。
解：因为 $ \angle EDF = 90^\circ $,所以 $ \angle ADM = 180^\circ - \angle EDF = 90^\circ $,在 $ \triangle ADM $ 中, $ \angle A + \angle AMD + \angle ADM = 180^\circ $,且 $ \angle A = 25^\circ $,所以 $ \angle AMD = 180^\circ - \angle A - \angle ADM = 65^\circ $,所以 $ \angle EMN = \angle AMD = $65°。

答案：
(1)因为 $ DE \perp AB $ 于点 $ D $,所以 $ \angle EDF = 90^\circ $,因为 $ \angle C = 90^\circ $,所以 $ \angle C = \angle EDF $,因为 $ EF // BC $,所以 $ \angle B = \angle EFD $,在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle EFD $ 中,因为 $ \begin{cases} \angle C = \angle EDF, \\ \angle B = \angle EFD, \\ AC = ED, \end{cases} $ 所以 $ \triangle ABC \cong \triangle EFD(AAS) $。
(2)因为 $ \angle EDF = 90^\circ $,所以 $ \angle ADM = 180^\circ - \angle EDF = 90^\circ $,在 $ \triangle ADM $ 中, $ \angle A + \angle AMD + \angle ADM = 180^\circ $,且 $ \angle A = 25^\circ $,所以 $ \angle AMD = 180^\circ - \angle A - \angle ADM = 65^\circ $,所以 $ \angle EMN = \angle AMD = 65^\circ $。

1. 垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线,简称中垂线。

答案： 垂直 平分 直线 中垂线

2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

答案： 线段两端