《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

1. 如图，在△ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 7，求cosB的值.

答案：
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设BD = x，则CD = 7 - x，

由勾股定理，得AB² - BD² = AC² - CD² = AD²，
∴5² - x² = 6² - (7 - x)²，解得x = $\frac{19}{7}$，即BD = $\frac{19}{7}$，
∴cosB = $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{19}{35}$.

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 6，cosA = $\frac{3}{5}$. D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E.
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值.

答案：
解：
(1)
∵∠ACB = 90°，AC = 6，cosA = $\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}$ = $\frac{3}{5}$，
∴AB = 10，
∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 8.
又
∵D为AB的中点，
∴AD = BD = CD = $\frac{1}{2}$AB = 5，
∴∠DCB = ∠B.
∵cos∠DCB = $\frac{CD}{CE}$，cosB = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$，
∴$\frac{5}{CE}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$，解得CE = $\frac{25}{4}$.
(2) 如图，过点E作EF⊥AB交AB于点F.

设BF = x，则DF = BD - BF = 5 - x.由
(1)，知CE = $\frac{25}{4}$，
则BE = 8 - $\frac{25}{4}$ = $\frac{7}{4}$，
DE = $\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}$ = $\frac{15}{4}$.
在Rt△DEF中，EF² = DE² - DF² = ($\frac{15}{4}$)² - (5 - x)².
在Rt△BEF中，EF² = BE² - BF² = ($\frac{7}{4}$)² - x².
∴($\frac{15}{4}$)² - (5 - x)² = ($\frac{7}{4}$)² - x²，
解得x = $\frac{7}{5}$，
∴EF = $\sqrt{(\frac{7}{4})^{2}-(\frac{7}{5})^{2}}$ = $\frac{21}{20}$，
∴sin∠BDE = $\frac{EF}{DE}$ = $\frac{7}{25}$.

3.（2022·凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是_________.

答案： $\frac{2\sqrt{13}}{13}$

4.（2024·南阳模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是____.

答案： 2

5.（2023·杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”. 如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE. 设∠BAF = α，∠BEF = β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tanα = tan²β，则n = （ ）


A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

答案： C