《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

1.【跨学科融合】【模型观念、应用意识】凸透镜成像的原理如图所示，$AD// l// BC$. 若物体到焦点的距离$HF_{1}$与焦点到凸透镜中心线$DB$的距离$OF_{2}$之比为$5:4$，则物体被缩小到原来的（ ）

A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{4}{9}$
D. $\frac{5}{9}$

答案： A

2.【几何直观、推理能力】(2023·烟台)如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点$P$为位似中心作正方形$PA_{1}A_{2}A_{3}$，正方形$PA_{4}A_{5}A_{6}$，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形$PA_{1}A_{2}A_{3}$的顶点坐标分别为$P(-3,0)$，$A_{1}(-2,1)$，$A_{2}(-1,0)$，$A_{3}(-2,-1)$，则顶点$A_{100}$的坐标为（ ）

A. $(31,34)$
B. $(31,-34)$
C. $(32,35)$
D. $(32,0)$

答案： A

3.【几何直观、模型观念】(2022·海南)如图，菱形$ABCD$中，点$E$是边$CD$的中点，$EF$垂直$AB$交$AB$的延长线于点$F$，若$BF:CE = 1:2$，$EF=\sqrt{7}$，则菱形$ABCD$的边长是（ ）

A. 3
B. 4
C. 5
D. $\frac{4}{5}\sqrt{7}$

答案： B

4.【数学文化】【推理能力】(2022·潍坊)《墨子·天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美. 如图，正方形$ABCD$的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形$A'B'C'D'$，若$A'B':AB = 2:1$，则四边形$A'B'C'D'$的外接圆的周长为________.

答案： $4\sqrt{2}\pi$

5.【新定义、阅读理解】【推理能力、模型观念、应用意识】若$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$\alpha$后，与$\triangle ADE$构成位似图形，则我们称$\triangle ABC$与$\triangle ADE$互为“旋转位似图形”.
(1)知识理解：
如图1，$\triangle ABC$与$\triangle ADE$互为“旋转位似图形”.
①若$\alpha = 25^{\circ}$，$\angle D = 100^{\circ}$，$\angle C = 25^{\circ}$，则$\angle BAE=$_______；
②若$AD = 6$，$DE = 9$，$AB = 4$，则$BC=$_______；
(2)知识运用：
如图2，在四边形$ABCD$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$AE\perp BD$于点$E$，$\angle DAC=\angle DBC$，求证：
①$OA\cdot OC = OB\cdot OD$；
②$\triangle ACD$与$\triangle ABE$互为“旋转位似图形”.
　　　

答案：
(1)①$30^{\circ}$ ②6
(2)证明:①$\because\angle DOA=\angle COB$，$\angle DAC = \angle DBC$，
$\therefore\triangle DOA\sim\triangle COB$，$\therefore\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，
$\therefore OA\cdot OC = OB\cdot OD$.
②$\because\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，$\therefore\frac{AO}{DO}=\frac{BO}{CO}$.
又$\because\angle DOC=\angle AOB$，
$\therefore\triangle AOB\sim\triangle DOC$，
$\therefore\angle DCA=\angle EBA$.
又$\because\angle ADC = 90^{\circ}$，$AE\perp BD$，
$\therefore\angle ADC=\angle AEB = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle ABE\sim\triangle ACD$，
$\therefore\angle DAC=\angle EAB$，
$\therefore\triangle AEB$绕点$A$逆时针旋转$\angle DAE$的度数后与$\triangle ADC$构成位似图形，
$\therefore\triangle ACD$和$\triangle ABE$互为“旋转位似图形”.