《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

10.如图，在△ABC中，AC =4，AB =6，cosC =$\frac{1}{4}$，则sinB的值为（ ）

A.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{15}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{6}$

答案： D

11.(黔东南州中考)如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD = 12，PA = 8，则sin∠ADB的值为（ ）

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： A

12.(贵港中考)如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： C

13.(广元中考)如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）

A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： B

14.(连云港中考)如图，在△ABC中，∠C = 150°，AC =4，tanB =$\frac{1}{8}$.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.4$，$\sqrt{3}\approx1.7$，$\sqrt{5}\approx2.2$)

答案：
解:
(1)如图,过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
在Rt△ADC中,AC = 4,
∵∠ACB = 150°,
∴∠ACD = 30°,
∴AD = $\frac{1}{2}$AC = 2,CD = AC·cos30° = 4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 2$\sqrt{3}$. 在Rt△ABD中,tanB = $\frac{AD}{BD}$ = $\frac{2}{BD}$ = $\frac{1}{8}$,
∴BD = 16,
∴BC = BD - CD = 16 - 2$\sqrt{3}$.

(2)如图,在BC边上取一点M,使得CM = AC,连接AM.
∵∠ACB = 150°,AC = CM,
∴∠AMC = ∠MAC = 15°,tan15° = tan∠AMD = $\frac{AD}{MD}$ = $\frac{2}{4 + 2\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ = 2 - $\sqrt{3}$≈0.3.

15.如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD =3，AB =4，求tan∠BPD的值.

答案：
解:如图,连接BD.

∵∠BCD = ∠BAD, ∠CDA = ∠ABC,
∴△CPD∽△APB.
∴$\frac{PD}{PB}$ = $\frac{CD}{AB}$ = $\frac{3}{4}$.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠PDB = ∠ADB = 90°. 设PB = 4x,则PD = 3x,
∴BD = $\sqrt{(4x)^{2}-(3x)^{2}}$ = $\sqrt{7}$x,
∴tan∠BPD = $\frac{BD}{PD}$ = $\frac{\sqrt{7}x}{3x}$ = $\frac{\sqrt{7}}{3}$.