《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

1.（南通中考）已知△ABC的三边长分别为：6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A.2 cm，3 cm
B.4 cm，5 cm
C.5 cm，6 cm
D.6 cm，7 cm

答案： C

2.【教材九下P34练习T3变式】已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的最短边长为4 cm.当△ABC与△DEF相似时，△DEF的另外两边长分别是（ ）
A.2 cm，3 cm
B.4 cm，5 cm
C.5 cm，6 cm
D.6 cm，7 cm

答案： C

3.依据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似.若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由.
(1)AB = 1，AC = 1.5，BC = 2，A'B' = 12，A'C' = 8，B'C' = 16；
(2)BC = 2，AC = 3，AB = 4，B'C' = $\sqrt{2}$，A'C' = $\sqrt{3}$，A'B' = 2.

答案： 解:
(1)△ABC∽△A'B'C'.证明如下:
∵$\frac{AB}{A'C'}=\frac{1}{8}$，$\frac{AC}{A'B'}=\frac{1.5}{12}=\frac{1}{8}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴$\frac{AB}{A'C'}=\frac{AC}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$.
∴△ABC∽△A'B'C'.
(2)△ABC与△A'B'C'不相似.理由如下:
∵$\frac{BC}{B'C'}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{2}=2$，
∴$\frac{BC}{B'C'}\neq\frac{AC}{A'C'}\neq\frac{AB}{A'B'}$，
∴△ABC与△A'B'C'不相似.

4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求解答下列各题：
　　　　
(1)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；
(2)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似.（要求：不写作法与证明）

答案：
解:
(1)△ABC与△DEF相似,理由如下:
由勾股定理,得
AB=$\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，
BC=$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，DF=$\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，
DE=$\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$.
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.
∴△ABC与△DEF相似.
(2)如图,△P₂P₄P₅即为所求.

5.（2024.南阳模拟改编）已知△ABC如图所示.则与△ABC相似的是下列图中的（ ）
　　　　　　　　　
　　　　

答案： C

6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA:OC = OB:OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.①和②相似 B.①和③相似
C.①和④相似 D.②和④相似
　　　　　

答案： B

7.如图，BD平分∠ABC，AB = 4，BC = 6.当BD = ________时，△ABD∽△DBC.

答案： $2\sqrt{6}$

8.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED = ∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$. 求证：△ADF∽△ACG.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明:
∵∠AED = ∠B，∠DAE = ∠CAB，
∴∠ADF = ∠C.
又
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，
∴△ADF∽△ACG.

9.如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)求DE的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:
∵AE = 1.5，AC = 2，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{4}$.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
又
∵∠EAD = ∠CAB，
∴△ADE∽△ABC.
(2)解:由
(1)，可知△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$.
∵BC = 3，
∴DE=$\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}\times3=\frac{9}{4}$.