《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

17. (2023·东营)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE = 60°. 若BD = 4DC，DE = 2.4，则AD的长为（ ）

A. 1.8
B. 2.4
C. 3
D. 3.2

答案： C

18. 如图，已知在四边形ABED中，点C是线段AB的中点，且∠A = ∠B = ∠DCE，BE = 2，AD = 8，那么AC = __________.

答案： 4

19. 如图，在△ABC中，AB = AC，E，F分别是边BC，AC上的点，且∠B = ∠AEF.
(1)求证：AB·CF = EC·BE；
(2)若AB = 8，BC = 12，EF//AB，求BE的长.

答案：
(1)证明：在△ABE中，
∵∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠AEF + ∠CEF，且∠B = ∠AEF，
∴∠BAE = ∠CEF.
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C.
∴△ABE∽△ECF.
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$.
∴AB·CF = EC·BE.
(2)解：
∵EF//AB，
∴∠BAE = ∠AEF = ∠B.
∵∠B = ∠C，
∴∠C = ∠BAE. 又
∵∠B = ∠B，
∴△ABC∽△EBA.
∴$\frac{BA}{BE}=\frac{BC}{BA}$.
∵AB = 8，BC = 12，
∴BE = $\frac{BA^{2}}{BC}=\frac{8^{2}}{12}=\frac{16}{3}$.

20. (1)如图1，在矩形ABCD中，AD = 7，CD = 4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则$\frac{CE}{BD}$的值为__________；
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB = CF·AD.

答案：

(1)$\frac{4}{7}$
(2)证明：如图，过点C作CH⊥AF，交AF的延长线于点H，则四边形ABCH为矩形.

∴AB = CH.
∵在△FCH和△FDG中，∠H = ∠G = 90°，∠CFH = ∠DFG，
∴∠FCH = ∠FDG = ∠ADE. 又
∵∠A = ∠H = 90°，
∴△DEA∽△CFH.
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{HC}$.
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AB}$.
∴DE·AB = CF·AD.