《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

5.(2024·驻马店市西平县三模)郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽.某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口AB的高度(AB垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面112.5 m高的点P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为20°，再将无人机沿水平方向向东站入口飞行100 m到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为45°，求东站入口AB的高度.(直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)

答案：
解:如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则$\angle ACQ = 90^{\circ}$.
　　　
由题意，得$BC = 112.5m,PQ = 100m$
在$Rt\triangle BCQ$中，$\because\angle BQC = 45^{\circ}$
$\therefore CQ = BC = 112.5m$
$\therefore PC = PQ + CQ = 112.5 + 100 = 212.5(m)$
在$Rt\triangle PCA$中，$\because\tan\angle APC=\frac{AC}{PC}=\frac{AC}{212.5}=\tan20^{\circ}\approx0.36$
$\therefore AC = 76.5m$
$\therefore AB = BC - AC = 112.5 - 76.5 = 36(m)$
答:东站入口AB的高度为36m.

6.天王寺善济塔位于河南省新乡市，修建于元朝至元四年(1267)，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在善济塔前的一棵树底部D处测得塔顶A处的仰角为α，在塔底部B处测得大树顶部C处的仰角为β，测得树高CD为10 m.为了减小测量误差，小组在测量两个仰角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).

(1)任务一：表中m=______；
(2)任务二：请帮小组的同学求出善济塔AB的高度；(结果精确到0.1 m，参考数据：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$，$\sqrt{3}$≈1.73)
(3)任务三：该小组要写一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目?(写出一条即可)

答案：
(1)$53^{\circ}$
(2)在$Rt\triangle BCD$中，$\tan\beta=\frac{CD}{BD}$
$\therefore BD=\frac{CD}{\tan\beta}=\frac{CD}{\tan30^{\circ}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 10\sqrt{3}(m)$
在$Rt\triangle ADB$中，$\tan\alpha=\frac{AB}{BD}$
$\therefore AB = BD\cdot\tan53^{\circ}\approx10\sqrt{3}\times\frac{4}{3}\approx23.1(m)$
答:善济塔AB的高度约为23.1m.
(3)还需要补充的项目:测量工具(或计算过程，人员分工，指导教师等).(答案不唯一)