《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，试确定点 D(或 E)的位置.

答案： 解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S_{△ADE}=S_{四边形BCED}.
∴S_{△ADE}=$\frac{1}{2}$S_{△ABC}.
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴($\frac{AD}{AB}$)²=($\frac{AE}{AC}$)²=$\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC.
答：点D在到点A的距离等于AB长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$(或点E在到点A的距离等于AC长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$)的位置.

1.(常德中考)如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为 1，△ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是（ ）

A.20
B.22
C.24
D.26

答案： D

2.如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{3}$，则$\frac{OA}{OC}$的值为（ ）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{2}{5}$

答案： A

3.如图，点 D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠BAD = ∠C，AC = 2AD，如果△ACD 的面积为 15，那么△ABD 的面积为（ ）

A.15
B.10
C.7.5
D.5

答案： D

4.如图，已知 DE//BC.
(1)若$\frac{AD}{DB}=2$，$S_{\triangle ADE}=8\ cm^{2}$.
①求证：△ADE∽△ABC；
②求$S_{\triangle ABC}$和$S_{四边形 BCED}$；
(2)若$S_{\triangle ADE}=S_{四边形 DBCE}$，则$\frac{AD}{DB}$等于多少？

答案： ①证明：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC.②解：
∵△ADE∽△ABC，$\frac{AD}{DB}$=2，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}$=$\frac{4}{9}$.又
∵S_{△ADE}=8cm²，
∴S_{△ABC}=18cm²，
∴S_{四边形BCED}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=10cm².
@@解：由
(1)，知△ADE∽△ABC，
∵S_{△ADE}=S_{四边形DBCE}，
∴S_{△ADE}:S_{△ABC}=1:2，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+1.

5.如图，在△ABC 和△DEC 中，∠A = ∠D，∠BCE = ∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}=4:9$，BC = 6，求 EC 的长.

答案： 证明：
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE.即∠ACB = ∠DCE.又
∵∠A = ∠D，
∴△ABC∽△DEC.
@@解：由
(1)，知△ABC∽△DEC，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}$=($\frac{BC}{EC}$)²=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{BC}{EC}$=$\frac{2}{3}$，即EC=$\frac{3}{2}$BC.又
∵BC = 6，
∴EC = 9.