《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

11. 如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB. 若DE//BC，四边形D'E'CB各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE应是（ ）

答案： C

12.（2024·周口市扶沟县一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐. 如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则$\frac{AB}{BC}$的值是____________.

答案： 2

13. 如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，过AD上的点E作EF//BD，交AB于点F，过点F作FG//AC，交BC于点G，已知$\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，BG = 4.
（1）求CG的长；
（2）若CD = 2，在上述条件和结论下，求EF的长.

答案： 解:
(1)
∵EF//BD,
∴$\frac{AF}{FB}$=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{3}{2}$.
∵FG//AC,
∴$\frac{BG}{CG}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$.
　
∵BG=4,
∴CG=6.
(2)
∵CD=2,CG=6,
　
∴DG=CG−CD=4.
　
∵BG=4,
　
∴BD=BG+DG=8.
　
∵$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{3}{5}$.
　
∵EF//BD,
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$,即$\frac{EF}{8}$=$\frac{3}{5}$.
∴EF=$\frac{24}{5}$

【例】如图，AD是△ABC的中线.
（1）若点E为AD的中点，射线CE交AB于点F，则$\frac{AF}{BF}=$____________；
（2）若E为AD上的一点，且$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，射线CE交AB于点F，则$\frac{AF}{BF}=$____________.

答案：
(1)$\frac{1}{2}$　
(2)$\frac{1}{2k}$

【变式1】（梧州中考）如图，AG∶GD = 4∶1，BD∶DC = 2∶3，则AE与EC的比值是（ ）

A. 3∶2
B. 4∶3
C. 6∶5
D. 8∶5

答案： D

【变式2】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D. 若BF = 3EF，则$\frac{BD}{DC}=$____________.

答案： $\frac{3}{2}$

14. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论. 如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$. 小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E，构造相似三角形来证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.


尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，D是边BC上一点. 连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点E处. 若AC = 1，AB = 2，求DE的长.

答案：
(1)证明:
∵CE//DA,
　
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{DB}{DC}$,∠DAC=∠ACE,∠BAD=∠E.
　
∵AD是△ABC的角平分线，
　
∴∠BAD=∠DAC,
∴∠ACE=∠E,
∴AC=AE,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$.
(2)解:由折叠的性质,得∠CAD=∠BAD,CD=DE.
　　由
(1),可知$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{BD}{CD}$
　
∴BD=2CD.
　
∵∠BAC=90°,
　
∴BC=$\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}$=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{5}$,
　
∴BD+CD=$\sqrt{5}$，
∴3CD=$\sqrt{5}$
　
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$,
　
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{3}$