《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

例1 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3$\sqrt{3}$，BC = 3.
（1）如图1，tanA = __________，sinA = __________，cosA = __________，AC = __________；

（2）如图2，点D，E分别在AB，AC边上，若DE垂直平分AC，连接CD，则CD的长为__________；

（3）如图3，若点D为AB边上一点，且∠BDC = 45°，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长为__________.

答案：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}$　$\frac{1}{2}$　$\frac{\sqrt{3}}{2}$　6　　
(2)$2\sqrt{3}$
(3)$\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$

例2 如图，BE为水平面，AB为一栋建筑物，CD与水平面平行，且点A，D，B在同一条直线上.
（1）如图1，从观测点C观察建筑物的顶端A和底端B的俯角分别为__________；

（2）如图2，若从点A观察点C的俯角为40°，从点B观察点C的仰角为30°，则∠ACB的度数为________，若CD = a，则建筑物AB的高度为________________（用含a的式子表示）.

答案：
(1)∠DCA,∠DCB　　
(2)$70^{\circ}$ $a\tan40^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{3}a$ (或$\frac{a}{\tan50^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{3}a$)

例3 已知，一艘货船在A处，在其南偏西60°方向的C处有一巡逻艇.
（1）如图1，货船在C处巡逻艇的______方向上；

（2）如图2，一艘客船在B处，巡逻艇在其南偏西20°的方向上.
①此时从C处巡逻艇上看A、B两处的货船与客船的视角∠ACB的度数为______；
②连接AB，若AB与BC垂直，求此时B处客船在A处货船的什么方向上；
③若BC = 3海里，求货船沿AC方向航行过程中距离客船的最短距离；（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留小数点后两位）
④货船从C处沿CA方向返回过程中，需要改变航线沿正北方向航行，求货船需如何调整角度.

答案：

(1)北偏东$60^{\circ}$　
(2)①$40^{\circ}$
②解:如图.连接AB,AB与BC垂直，
　　　　
在Rt△ABC中,
∵∠C = 40°,∠ABC = 90°,
∴∠CAB = 50°.
∴∠BAD = 180° - 60° - 50° = 70°.
∴此时B处客船在A处货船的北偏西70°方向上.
③解:如图,连接BA',BA'垂直CA,货船沿AC方向航行过程中到达点A'时,距离客船距离最短，此时最短距离为线段A'B的长.
　　　　　
在Rt△A'BC中,sinC = $\frac{A'B}{BC}$,
A'B = BC·sinC = 3×sin40°≈3×0.64 = 1.92(海里).
∴货船沿AC方向航行过程中距离客船的最短距离约为1.92海里.
④解:如图,货船需要向左转60°才能沿正北方向航行