《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

1.【几何直观】（攀枝花中考）如图，正比例函数$y = k_1x$与反比例函数$y = \frac{k_2}{x}$的图象交于$A(1,m),B$两点，当$k_1x\leqslant\frac{k_2}{x}$时，$x$的取值范围是（ ）

A. $-1\leqslant x＜0$或$x\geqslant1$
B. $x\leqslant -1$或$0＜x\leqslant1$
C. $x\leqslant -1$或$x\geqslant1$
D. $-1\leqslant x＜0$或$0＜x\leqslant1$

答案： A

2.【几何直观、应用意识、创新意识】（扬州中考）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）$y$与该校参加竞赛人数$x$的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）

A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

答案： C

3.【空间观念、应用意识】（无锡中考）一次函数$y = mx + n$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象交于点$A,B$，其中点$A,B$的坐标为$A(-\frac{1}{m},-2m),B(m,1)$，则$\triangle OAB$的面积是（ ）
A. 3
B. $\frac{13}{4}$
C. $\frac{7}{2}$
D. $\frac{15}{4}$

答案： D

4.【应用意识、创新意识】一元二次方程$x^2 - 6x + m = 0$有两个相等的实数根，点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是反比例函数$y = \frac{m}{x}$上的两个点，若$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，则$y_1$______$y_2$（填“＜”“＞”或“=”）.

答案： ＞

5.【跨学科融合】【模型观念、应用意识】如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600 N，阻力臂长为0.5 m. 设动力为$y$(N)，动力臂长为$x$(m).（杠杆平衡时，动力×动力臂 = 阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计）
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(3)小明若想使动力不超过300 N，在动力臂最大为2.5 m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.

答案： 解：
(1) 由题意，可得$xy = 1600×0.5$，则$y=\frac{800}{x}$，即$y$关于$x$的函数表达式为$y = \frac{800}{x}(x＞0)$。
(2) 在$y=\frac{800}{x}$中，当$x = 2$时，$y=\frac{800}{2}=400$。
∴当动力臂长为$2\ m$时，撬动石头至少需要$400\ N$的力。
(3) 他不能撬动这块石头。理由如下：
在$y=\frac{800}{x}$中，当$0＜x\leqslant2.5$时，$0＜\frac{800}{y}\leqslant2.5$。解得$y\geqslant320$。$\because320＞300$，$\therefore$他不能撬动这块石头。

6.【阅读理解，新定义】（遂宁中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”. 例如$(-1,1),(2022,-2022)$都是“黎点”.
(1)求双曲线$y = -\frac{9}{x}$上的“黎点”；
(2)若抛物线$y = ax^2 - 7x + c$（$a,c$为常数）上有且只有一个“黎点”，当$a ＞ 1$时，求$c$的取值范围.

答案： 解：
(1) 设双曲线$y=\frac{-9}{x}$上的“黎点”为$(m,-m)$，则有$-m=\frac{-9}{m}$。解得$m=\pm3$。
经检验，$m = \pm3$是分式方程的解。
∴双曲线$y=\frac{-9}{x}$上的“黎点”为$(3,-3)$或$(-3,3)$。
(2) $\because$抛物线$y = ax^{2}-7x + c$（$a$，$c$为常数）上有且只有一个“黎点”，
$\therefore$方程$ax^{2}-7x + c=-x$有且只有一个根，
即$ax^{2}-6x + c = 0$有且只有一个根，
$\therefore\Delta = 36-4ac = 0$，$\therefore ac = 9$。$\therefore a=\frac{9}{c}$。
$\because a＞1$，$\therefore0＜c＜9$。