《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC = 120 mm，高AD = 80 mm. 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?

答案： 解:由题意,知四边形EGHF为正方形，
∴BC//EF,
∴△AEF∽△ABC.
设正方形零件的边长为xmm,则KD = EF = xmm,AK=(80 - x)mm,
∵AD⊥BC,
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$.
即$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$,解得x = 48.
答:这个正方形零件的边长为48mm.

1. 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠A = 30°，AC = 2$\sqrt{3}$ + 2，四边形BDEF是△ABC 的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上). 则此正方形的周长是________.

答案： $4\sqrt{3}$

2.(东营中考)如图，在△ABC中，点F，G在BC上，点E，H分别在AB，AC上，四边形EFGH是矩形，EH = 2EF，AD是△ABC 的高，BC = 8，AD = 6，那么EH的长为____________.

答案： $\frac{24}{5}$

3. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，正方形DEFG，点D，G分别在AC，BC上，E，F在AB上.
(1)如图1，若AC = 3，BC = 4，求DG的长；
(2)如图2，四边形HPEQ、四边形MFRN 为正方形，设正方形HPEQ、正方形MFRN、正方形DEFG的边长分别为a，b，c，求证：a + b = c.

答案：

(1)解:如图，过C作CM⊥BA于点M,交DG于点N,
　　　　　　
　
∵△ABC是直角三角形,∠ACB = 90°,BC = 4,AC = 3,
　
∴AB = $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$=5.
　　$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CM$,
∴CM = $\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3\times4}{5}$=2.4.
　
∵四边形DEFG是正方形,
　
∴DG = GF = EF = DE = MN,DG //BA.
　
∴△CDG∽△CAB,
∴$\frac{DG}{AB}=\frac{CN}{CM}$.
　
∴$\frac{DG}{5}=\frac{2.4 - DG}{2.4}$,
∴DG = $\frac{60}{37}$.
(2)证明:
∵∠NGM + ∠CGD = 90°,∠CDG + ∠CGD = 90°,
∴∠NGM = ∠CDG.
　　同理,∠DHQ = ∠CDG,
∴∠NGM = ∠DHQ.
　
∵∠NMG = ∠DQH,
∴△NMG ∽△DQH,
　
∴$\frac{MN}{QD}=\frac{MG}{QH}$,即$\frac{b}{c - a}=\frac{c - b}{a}$
　
∴ab = $c^{2}-ac - bc + ab$,
　
∴0 = $c^{2}-ac - bc$,即$c^{2}=ac + bc$.
　
∵c＞0,
∴a + b = c.