《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

10. 如图，BD⊥AC交AC于点D，CE⊥AB交AB于点E，BD与CE相交于点O，则图中线段的比不能表示sinA的值的是 （ ）
A. $\frac{BD}{AB}$ B. $\frac{CD}{OC}$ C. $\frac{AE}{AD}$ D. $\frac{BE}{OB}$
　　　　　　　　　　　　　

答案： C

11.（2023·益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，则sin∠BAC = （ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{13}}{5}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
　　

答案： C

【变式】（2023·陕西副卷）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1. 若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为 （ ）
A. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{4}$

答案： A

12.（2024·临夏州）如图，在△ABC中，AB = AC = 5，sinB = $\frac{4}{5}$，则BC的长是 （ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
　　 　　　

答案： B

13. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处. 若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为____________.

答案： $\frac{\sqrt{10}}{10}$

14. 如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上的一点，BP = 2 cm，求sin∠OPA的值.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$.

根据垂径定理，得$AC = BC=\frac{1}{2}AB = 4\ cm$，
$\therefore CP = BC + BP = 4 + 2 = 6(cm)$.
在$Rt\triangle OAC$中，根据勾股定理，得
$OC = \sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3(cm)$.
在$Rt\triangle OCP$中，根据勾股定理，得
$OP = \sqrt{OC^{2}+CP^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}} = 3\sqrt{5}(cm)$，
$\therefore\sin\angle OPA=\sin\angle OPC=\frac{OC}{OP}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

15. 如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究$\frac{a}{sinA}$与$\frac{b}{sinB}$之间关系的方法：
∵sinA = $\frac{a}{c}$，sinB = $\frac{b}{c}$，
∴c = $\frac{a}{sinA}$，c = $\frac{b}{sinB}$，
∴$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$.
根据你掌握的三角函数知识，在图2的锐角三角形ABC中，探究$\frac{a}{sinA}$，$\frac{b}{sinB}$，$\frac{c}{sinC}$之间的关系，并写出探究过程.
　　　 　　　

答案：
解：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. 理由如下：如图，过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，过点$B$作$BE\perp AC$于点$E$.

在$Rt\triangle ABD$中，$\sin\angle ABD=\frac{AD}{c}$，即$AD = c\sin\angle ABD$.
在$Rt\triangle ADC$中，$\sin C=\frac{AD}{b}$，即$AD = b\sin C$，
$\therefore c\sin\angle ABD = b\sin C$，即$\frac{b}{\sin\angle ABD}=\frac{c}{\sin C}$，同理可得$\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{c}{\sin C}$，
则$\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin\angle ABD}=\frac{c}{\sin C}$.
$\therefore\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.