《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

1. 如图，若直线$y = m$（$m$为常数）与函数$y = \begin{cases}x^{2}(x\leqslant2),\\\frac{4}{x}(x ＞ 2)\end{cases}$的图象恒有两个不同的交点，则常数$m$的取值范围是____________.
　　　　　

答案： $2\leqslant m\leqslant4$ [解析]由图象，可得直线 $y = m$（$m$为常数）与函数 $y=\begin{cases}x^{2}(x\leqslant2)\\\frac{4}{x}(x ＞ 2)\end{cases}$的图象恒有两个不同的交点时，常数 $m$的取值范围是 $2\leqslant m\leqslant4$，故答案为 $2\leqslant m\leqslant4$.

2. 如图，正比例函数$y_{1}=x$与反比例函数$y_{2}=\frac{4}{x}$的图象交于$A$，$B$两点.
(1)求$A$，$B$两点的坐标；
(2)将直线$y_{1}=x$向下平移$3$个单位长度得到直线$y_{3}$，与反比例函数的图象交于点$C$，点$D$，与$y$轴交于点$E$，当$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$时，求$x$的取值范围.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) $\because$正比例函数 $y_{1}=x$与反比例函数 $y_{2}=\frac{4}{x}$的图象交于 $A$，$B$两点，$\therefore x=\frac{4}{x}$，解得 $x = \pm2$，$\therefore$点 $A$的坐标为 $(2,2)$，点 $B$的坐标为 $(-2,-2)$.
(2) $\because$直线 $y_{1}=x$向下平移 $3$个单位长度得到直线 $y_{3}$，$\therefore y_{3}=x - 3$. 令 $y_{2}=y_{3}$，得 $\frac{4}{x}=x - 3$，解得 $x_{1}=-1$，$x_{2}=4$. $\therefore C(4,1)$，$D(-1,-4)$. 根据图象，知当 $y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$时，$x$的取值范围为 $-2＜x＜-1$或 $2＜x＜4$.

3. 如图，在反比例函数$y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象上，有点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$P_{4}$，$\cdots$，$P_{n}$（$n$为正整数，且$n\geqslant1$），它们的横坐标依次为$1$，$2$，$3$，$4$，$\cdots$，$n$（$n$为正整数，且$n\geqslant1$）. 分别过这些点作$x$轴与$y$轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$\cdots$，$S_{k - 1}$（$k$为正整数，且$k\geqslant2$），那么$S_{1}+S_{2}+S_{3}=$____________，$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+\cdots+S_{k - 1}=$____________.(用含有$k$的代数式表示)
　　　　　　　　　　　　　　

答案： $\frac{3}{2}$ $2-\frac{2}{k}$
[解析]当 $x = 1$时，$P_{1}$的纵坐标为 $4$，当 $x = 2$时，$P_{2}$的纵坐标为 $2$，当 $x = 3$时，$P_{3}$的纵坐标为 $\frac{4}{3}$，当 $x = 4$时，$P_{4}$的纵坐标为 $1$，当 $x = 5$时，$P_{5}$的纵坐标为 $\frac{4}{5}$，$\cdots$，则 $S_{1}=\frac{1}{2}\times1\times(4 - 2)=1=2 - 1$；$S_{2}=\frac{1}{2}\times1\times(2-\frac{4}{3})=\frac{1}{3}=1-\frac{2}{3}$；$S_{3}=\frac{1}{2}\times1\times(\frac{4}{3}-1)=\frac{1}{6}=\frac{2}{3}-\frac{2}{4}$；$\therefore S_{1}+S_{2}+S_{3}=2 - 1+1-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}=2-\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$；$S_{4}=\frac{1}{2}\times1\times(1-\frac{4}{5})=\frac{1}{10}=\frac{2}{4}-\frac{2}{5}$；$\cdots S_{k - 1}=\frac{2}{k - 1}-\frac{2}{k}$；$\therefore S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+\cdots+S_{k - 1}=2 - 1+1-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\cdots+\frac{2}{k - 1}-\frac{2}{k}=2-\frac{2}{k}$. 故答案为 $\frac{3}{2}$；$2-\frac{2}{k}$.

4. 一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象相交于$A$，$B$两点，点$A$的横坐标为$-1$，点$B$的坐标为$(2,-1)$.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点$C(x_{1},y_{1})$，点$D(x_{2},y_{2})$是反比例函数$y = \frac{m}{x}$图象上的两点，且$x_{1}＜x_{2}$，试比较$y_{1}$，$y_{2}$的大小.

答案： 解：
(1) $\because$反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象经过点 $B(2,-1)$，$\therefore m = 2\times(-1)=-2$，$\therefore$反比例函数的解析式为 $y=-\frac{2}{x}$. $\because$点 $A$在反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$的图象上，且点 $A$的横坐标为 $-1$，$\therefore$当 $x=-1$时，$y = 2$，$\therefore A(-1,2)$. 把 $A(-1,2)$，$B(2,-1)$代入 $y=kx + b$，得 $\begin{cases}-k + b=2\\2k + b=-1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-1\\b = 1\end{cases}$，$\therefore$一次函数的解析式为 $y=-x + 1$.
(2) $\because$反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$的图象分别在第二、第四象限内，在每一象限内，$y$随 $x$的增大而增大，$\therefore$当 $x_{1}＜x_{2}＜0$时，$y_{1}＜y_{2}$，当 $x_{1}＜0＜x_{2}$时，$y_{1}＞y_{2}$，当 $0＜x_{1}＜x_{2}$时，$y_{1}＜y_{2}$.