《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

1.(2024·凉山州)如图，正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,2)$.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线$y_1=\frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度与$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$B$，连接$AB$、$OB$，求$\triangle AOB$的面积.
　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵点$A(m,2)$在正比例函数$y_{1}=\frac{1}{2}x$图象上，将点$A(m,2)$代入$y_{1}=\frac{1}{2}x$，得$2 = \frac{1}{2}m$，解得$m = 4$，
∴点$A$的坐标为$(4,2)$．
∵点$A(4,2)$在反比例函数$y_{2}=\frac{k}{x}$图象上，
∴$k = 8$，
∴反比例函数的解析式为$y_{2}=\frac{8}{x}$．
(2)把直线$y_{1}=\frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度得到直线$y=\frac{1}{2}x + 3$，
如图，直线$y=\frac{1}{2}x + 3$与$y$轴交点坐标为$D(0,3)$，连接$AD$．

∵直线$y=\frac{1}{2}x + 3$与反比例函数交于点$B$，联立方程组，得$\begin{cases}y=\frac{8}{x}\\y=\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$，
或$\begin{cases}x = - 8\\y = - 1\end{cases}$(舍去)
∴点$B$的坐标为$(2,4)$．
∵$\triangle AOB$与$\triangle ADO$同底等高，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ADO}=\frac{1}{2}\times3\times4 = 6$．

2.(2024·广元)如图，已知反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$和一次函数$y_2=mx+n$的图象相交于点$A(-3,a)$，$B(a+\frac{3}{2},-2)$两点，$O$为坐标原点，连接$OA$，$OB$.
(1)求$y_1=\frac{k}{x}$与$y_2=mx+n$的解析式；
(2)当$y_1＞y_2$时，请结合图象直接写出自变量$x$的取值范围；
(3)求$\triangle AOB$的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵反比例函数$y_{1}=\frac{k}{x}$和一次函数$y_{2}=mx + n$的图象相交于点$A(-3,a)$，$B(a+\frac{3}{2},-2)$两点，
∴$k=-3a=-2(a+\frac{3}{2})$，解得$a = 3$，
∴点$A(-3,3)$，$B(\frac{9}{2},-2)$，
∴$k=-3\times3=-9$，
∴$y_{1}$的解析式为$y_{1}=-\frac{9}{x}$．把点$A(-3,3)$，$B(\frac{9}{2},-2)$代入$y = mx + n$，得$\begin{cases}-3m + n = 3\\\frac{9}{2}m + n = - 2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=-\frac{2}{3}\\n = 1\end{cases}$．
∴$y_{2}$的解析式为$y_{2}=-\frac{2}{3}x + 1$．
(2)由图象，知当$y_{1}＞y_{2}$时，自变量$x$的取值范围为$-3＜x＜0$或$x＞\frac{9}{2}$．
(3)如图，
∵$AB$与$y$轴相交于点$C$，

∴点$C$的坐标为$(0,1)$，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OC\cdot(x_{B}-x_{A})=\frac{1}{2}\times1\times(\frac{9}{2}+3)=\frac{15}{4}$．

3.(2024·东营)如图，一次函数$y=mx+n$（$m\neq0$)的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象交于点$A(-3,a)$，$B(1,3)$，且一次函数与$x$轴，$y$轴分别交于点$C$，$D$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式$mx+n＞\frac{k}{x}$的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点$P$，使得$S_{\triangle OCP}=4S_{\triangle OBD}$，求点$P$的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵一次函数$y = mx + n(m\neq0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象交于点$A(-3,a)$，$B(1,3)$，
∴$k = 1\times3=-3a$，解得$k = 3$，$a=-1$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$．
∵一次函数$y = mx + n$图象过$A(-3,-1)$，$B(1,3)$，代入，
得$\begin{cases}-3m + n=-1\\m + n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1\\n = 2\end{cases}$．
∴一次函数表达式为$y = x + 2$．
(2)由图象，知不等式$mx + n＞\frac{k}{x}$的解集为$-3＜x＜0$或$x＞1$．
(3)在一次函数$y = x + 2$的图象中，当$x = 0$时，$y = 2$；当$y = 0$时，$x=-2$，
∴$C(-2,0)$，$D(0,2)$，
∴$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}\times2\times1 = 1$，
∴$S_{\triangle OCP}=4S_{\triangle OBD}=4$．
设点$P$的坐标为$(m,\frac{3}{m})$，
∴$\frac{1}{2}\times2\times|\frac{3}{m}| = 4$，解得$m=-\frac{3}{4}$，
∴点$P$的坐标为$(-\frac{3}{4},-4)$．