《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

11.(2024·新荣区一模)如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE = 2 cm，BD，EF交于点G.若点G是EF的中点，则BG的长为_______cm.
　　　　　　

答案： $\sqrt{13}$

12.(江西中考)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD = ∠ABE.
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB = 6，AC = 4时，求AE的长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1) 证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD = ∠ACB.
∵∠ACD = ∠ABE，
∴∠ACB = ∠ABE.
∵∠BAC = ∠EAB，
∴△ABC∽△AEB.
(2) 解：
∵△ABC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$.
∵AB = 6，AC = 4，
∴$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$.
∴AE = 9.

13.(2023·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB = 8，AC = 6，DE = 4.
（1）证明：△ABC∽△DEB；
（2）求线段BD的长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1) 证明：
∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A = ∠CBE = ∠D = 90°，
∴∠C + ∠CBA = 90°，∠CBA + ∠DBE = 90°，
∴∠C = ∠DBE，
∴△ABC∽△DEB.
(2) 解：
∵△ABC∽△DEB，
∴$\frac{AC}{DB}=\frac{AB}{DE}$，
∴$\frac{6}{DB}=\frac{8}{4}$，
∴BD = 3.

14.【类比思想】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC = ∠EDF = 90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
　　 　　　　
(1)如图1，当点Q在线段AC上时，求证：△BPE∽△CEQ；
(2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，
①求证：△BPE∽△CEQ；
②若BP = 2，CQ = 9，求BC的长.

答案：
(1) 证明：
∵△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠B = ∠C = ∠DEF = 45°.
∴∠BEP + ∠CEQ = 180° - 45° = 135°，
∠BEP + ∠BPE = 180° - 45° = 135°.
∴∠BPE = ∠CEQ.
又
∵∠B = ∠C，
∴△BPE∽△CEQ.
(2) ① 证明：
∵∠BEF = ∠C + ∠CQE，∠BEF = ∠BEP + ∠DEF，且∠C = ∠DEF = 45°，
∴∠CQE = ∠BEP.
又
∵∠B = ∠C，
∴△BPE∽△CEQ.
② 解：
∵△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BE}{CQ}=\frac{BP}{CE}$.
∴BE·CE = BP·CQ.
∵BE = CE，
∴BE² = BP·CQ.
∵BP = 2，CQ = 9，
∴BE² = 2×9 = 18.
∴BE = 3$\sqrt{2}$.
∴BC = 2BE = 6$\sqrt{2}$.