《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

11.(2024·德阳)如图，一次函数$y=-2x + 2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象交于点$A(-1,m)$.
(1)求$m$的值和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的解析式；
(2)将直线$y=-2x + 2$向下平移$h$个单位长度$(h＞0)$后得直线$y = ax + b$，若直线$y = ax + b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象的交点为$B(n,2)$，求$h$的值，并结合图象求不等式$\frac{k}{x}＜ax + b$的解集.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵点A(-1,m)在一次函数y = -2x + 2图象上，
∴m = -2×(-1)+2 = 4，
∴点A的坐标为(-1,4).
∵点A(-1,4)在反比例函数y = $\frac{k}{x}$图象上，
∴k = -4，
∴反比例函数y = $\frac{k}{x}$的解析式为y = -$\frac{4}{x}$.
(2)
∵点B(n,2)在反比例函数y = -$\frac{4}{x}$的图象上，
∴2 = -$\frac{4}{n}$，解得n = -2，
∴点B的坐标为(-2,2)，
将直线y = -2x + 2向下平移h个单位长度得到解析式为y = -2x + 2 - h，
∵点B(-2,2)在直线y = -2x + 2 - h图象上，
∴2 = -2×(-2)+2 - h，解得h = 4.
根据函数图象及交点坐标，知不等式$\frac{k}{x}$ ＜ ax + b的解集为x ＜ -2.

12.(2024·遂宁)如图，一次函数$y_1=kx + b(k\neq0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m\neq0)$的图象相交于$A(1,3)$，$B(n,-1)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围；
(3)过点$B$作直线$OB$，交反比例函数图象于点$C$，连结$AC$，求$\triangle ABC$的面积.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) 将点A(1,3)代入y₂ = $\frac{m}{x}$，得m = 1×3 = 3，
∴反比例函数表达式为y₂ = $\frac{3}{x}$.
将点B(n,-1)代入y₂ = $\frac{m}{x}$，得n = -3，
∴点B的坐标为(-3,-1).
将A(1,3)，B(-3,-1)两点坐标代入y₁ = kx + b，得$\begin{cases}k + b = 3\\-3k + b = -1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 1\\b = 2\end{cases}$.
∴一次函数的表达式为y₁ = x + 2.
(2) 由函数图象，知当-3 ＜ x ＜ 0或x ＞ 1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y₁ ＞ y₂，
∴当y₁ ＞ y₂，x的取值范围是-3 ＜ x ＜ 0或x ＞ 1.
(3) 如图，连接AO，令直线AB与x轴的交点为M.
将y = 0代入y₁ = x + 2，得x = -2，
∴点M的坐标为(-2,0)，
∴S△AOB = S△AOM + S△BOM = $\frac{1}{2}$×2×3 + $\frac{1}{2}$×2×1 = 4.
∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
∴点B和点C关于点O成中心对称，
∴BO = CO，所以S△ABC = 2S△AOB = 8.

13.(2024·河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电$x$度，则能使用$y$天.下列说法错误的是（ ）
A.若$x = 5$，则$y = 100$
B.若$y = 125$，则$x = 4$
C.若$x$减小，则$y$也减小
D.若$x$减小一半，则$y$增大一倍

答案： C

14.(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度$v(\text{m/s})$是载重后总质量$m(\text{kg})$的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量$m = 60\text{ kg}$时，它的最快移动速度$v = 6\text{ m/s}$；当其载重后总质量$m = 90\text{ kg}$时，它的最快移动速度$v=$____$\text{m/s}$.
　　　　　　　　　　　　

答案： 4

15.【跨物理学科】(2023·温州)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强$p(\text{kPa})$与汽缸内气体的体积$V(\text{mL})$成反比例，$p$关于$V$的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了____$\text{mL}$.
　　

答案： 20