《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

10.（2024·资阳）第14届国际数学教育大会（ICME - 14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH = 1∶3，则sin∠ABE = （ ）
　　　
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： C

11.（宁波中考）如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AD⊥BC于点D，BD = $\sqrt{3}$.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为 （ ）

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.1
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案： C

12.（2022·凉山州）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H.若cos∠CDB = $\frac{4}{5}$，BD = 5，则⊙O的半径为 _________.

答案： $\frac{25}{6}$

13.（2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB = 10，AD = 6，tan∠ACB = 1.
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值.

答案： 解:
(1)
∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
　
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
　
∵tan∠ACB=1,
　
∴CD=AD=6,
　
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)
∵AE是BC边上的中线，
　
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=7,
　
∴DE=CE−CD=7−6=1.
　
∵AD⊥BC,
　
∴AE=$\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{37}$,
　
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{37}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$.

14.如图，⊙O的半径为R，在其内接锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别是a，b，c.
（1）求证：$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ = 2R；
（2）若∠A = 60°，∠C = 45°，BC = 4$\sqrt{3}$，利用（1）的结论求AB的长和sinB的值.

答案：

(1)证明:如图，连接BO并延长交⊙O 于点E,连接CE,则∠BCE=90°,∠E =∠A,
　
∴sinA=sinE=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{a}{2R}$
　
∴$\frac{a}{sinA}$=2R.
　同理,得$\frac{b}{sinB}$=2R,$\frac{c}{sinC}$=2R,
　
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R.
　　　　　　
(2)解:由
(1),得$\frac{AB}{sin\angle ACB}$=$\frac{BC}{sinA}$=2R,
　　即$\frac{AB}{sin45°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{sin60°}$=2R,
　
∴AB=$\frac{4\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{2}$,2R=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8.
　　如图,过点B作BH⊥AC于点H,则∠AHB=∠BHC=90°,
　
∴AH=AB·cos60°=4$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{2}$,
　　CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$,
　
∴AC=AH+CH=2($\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$),
　
∴sin∠ABC=$\frac{AC}{2R}$=$\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{8}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
　
∴AB的长为4$\sqrt{2}$,sinB的值为$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$