《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

3.(2024·陕西)如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α=45°，AB=10 m.求山顶C点处的海拔高度.(小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)

答案：
解:如图，过点C作$CD\perp AE$，交AE的延长线于点D.
　　　　　
设$BD = xm$
$\because AB = 10m$，$\therefore AD = AB + BD=(x + 10)m$
在$Rt\triangle BDC$中，$\because\angle CBD = 45^{\circ}$
$\therefore CD = BD\cdot\tan45^{\circ}=x(m)$
在$Rt\triangle ADC$中，$\because\angle A = 42^{\circ}$
$\therefore CD = AD\cdot\tan42^{\circ}\approx0.9(x + 10)m$
$\therefore x = 0.9(x + 10)$
解得$x = 90$，$\therefore CD = 90m$
$\because$小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m
$\therefore$山顶C点处的海拔高度约为$1600 + 90 = 1690(m)$
答:山顶C点处的海拔高度约为1690m.

4.(2024·山西)研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1米.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33).

答案：
解:如图，延长CD交AB于点H.
　　　　　　　
由题意，得四边形CMBH为矩形
$\therefore HB = CM = 20$米
在$Rt\triangle AHC$中，$\because\angle AHC = 90^{\circ},\angle ACH = 18.4^{\circ}$
$\tan\angle ACH=\frac{AH}{CH}$
$\therefore CH=\frac{AH}{\tan\angle ACH}=\frac{AH}{\tan18.4^{\circ}}\approx\frac{AH}{0.33}$
在$Rt\triangle EHC$中，$\because\angle EHC = 90^{\circ},\angle ECH = 37^{\circ}$
$\tan\angle ECH=\frac{EH}{CH}$
$\therefore CH=\frac{EH}{\tan\angle ECH}=\frac{EH}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{EH}{0.75}$
设$AH = x$米.$\because AE = 9$米
$\therefore EH = x + 9(米)$
$\therefore\frac{x}{0.33}=\frac{x + 9}{0.75}$
解得$x\approx7.1$
$\therefore AB = AH + HB\approx7.1 + 20 = 27.1\approx27(米)$
答:纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27米.