《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

5. 如图，一次函数$y = x + 1$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象相交，其中一个交点的横坐标是$2$.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y = x + 1$的图象向下平移$2$个单位长度，求平移后的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$图象的交点坐标；
(3)直接写出一个一次函数，使其过点$(0,5)$，且与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象没有公共点.
　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) $\because$一次函数 $y=x + 1$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的一个交点的横坐标是 $2$，$\therefore$将 $x = 2$代入 $y=x + 1$，得 $y=2 + 1=3$. 故一个交点的坐标为 $(2,3)$. 将 $(2,3)$代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $k=2\times3=6$，$\therefore$反比例函数的表达式为 $y=\frac{6}{x}$①.
(2)将一次函数 $y=x + 1$的图象向下平移 $2$个单位长度，得到的图象对应的表达式为 $y=x - 1$②，联立①②，得 $\begin{cases}y=\frac{6}{x}\\y=x - 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x=-2\\y=-3\end{cases}$或 $\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$. $\therefore$平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$图象的交点坐标分别为 $(-2,-3)$和 $(3,2)$.
(3)设一次函数的表达式为 $y=mx + 5$（$m\neq0$）③，联立①③，得 $\begin{cases}y=mx + 5\\y=\frac{6}{x}\end{cases}$，整理，得 $mx^{2}+5x - 6=0$. $\because$两个函数的图象没有公共点，$\therefore\Delta=25 + 24m＜0$，解得 $m＜-\frac{25}{24}$，$\therefore m$可以取 $-2$（答案不唯一），$\therefore$一次函数的表达式为 $y=-2x + 5$（答案不唯一）.

6. “保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动. 某化工厂今年1月的利润为200万元. 设今年1月为第1个月，第$x$个月的利润为$y$万元. 由于排污超标，该厂决定从今年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，$y$与$x$成反比例关系. 到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).
(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到今年1月的水平？
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，则该厂资金紧张期共有几个月？
　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)当 $1\leqslant x\leqslant5$时，设 $y=\frac{k}{x}$. 把 $(1,200)$代入，得 $k = 200$，即 $y=\frac{200}{x}$. $\because$当 $x = 5$时，$y=\frac{200}{5}=40$，$\therefore$当 $x＞5$时，$y=40 + 20(x - 5)=20x - 60$. 综上，可知 $y$与 $x$之间的函数解析式为 $y=\begin{cases}\frac{200}{x}(1\leqslant x\leqslant5)\\20x - 60(x＞5)\end{cases}$.
(2)在 $y=20x - 60$中，当 $y = 200$时，$20x - 60=200$，解得 $x = 13$. $\because13 - 5=8$，$\therefore$治污改造工程完工后经过 $8$个月，该厂月利润才能达到今年 $1$月的水平.
(3)对于 $y=\frac{200}{x}$，当 $y = 100$时，$x = 2$；对于 $y=20x - 60$，当 $y = 100$时，$x = 8$. 从 $3$月到 $7$月，该厂月利润少于 $100$万元. 所以该厂资金紧张期共有 $5$个月.