《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

13.（2023·太原二模）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AC = \sqrt{3}$，那么$\angle B$的度数是（ ）
A. $15^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： D

14.【新定义】（广元中考）规定：$\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，$\cos(x + y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$，给出以下四个结论：
（1）$\sin(-30^{\circ})=-\frac{1}{2}$；
（2）$\cos2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$；
（3）$\cos(x - y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$；
（4）$\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
其中正确的结论的个数为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

15. 在$\triangle ABC$中，$(\tan A - \sqrt{3})^{2}+\vert\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos B\vert = 0$，则$\angle C$的度数为____.

答案： 90°

16. 正比例函数$y = \sqrt{3}x$的图象与$x$轴的夹角为$\alpha$，则$\alpha =$____.

答案： 60°

17. 计算：
（1）（2023·青海）$\sqrt{12}+2^{-1}+2023^{0}-\sin30^{\circ}$；
（2）$6\tan^{2}30^{\circ}-\sqrt{3}\sin60^{\circ}-2\sin45^{\circ}$.

答案： 解：
(1)原式$=2\sqrt{3}+\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}=2\sqrt{3}+1$。
(2)原式$=6\times(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}-\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=6\times\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-\sqrt{2}=2-\frac{3}{2}-\sqrt{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$。

18. 已知$\alpha$为锐角，且$\tan\alpha$是方程$x^{2}+2x - 3 = 0$的一个根，求$2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha-\sqrt{3}\tan(\alpha + 15^{\circ})$的值.

答案： 解：解方程$x^{2}+2x - 3 = 0$，得$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$。
$\because\alpha$为锐角，$\therefore\tan\alpha＞0$，$\therefore\tan\alpha = 1$，$\therefore\alpha = 45^{\circ}$，
$2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha-\sqrt{3}\tan(\alpha + 15^{\circ})=2\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}45^{\circ}-\sqrt{3}\tan60^{\circ}=2\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-\sqrt{3}\times\sqrt{3}=-\frac{3}{2}$。

19.【新定义】对于钝角$\alpha$，定义它的三角函数值如下：$\sin\alpha=\sin(180^{\circ}-\alpha)$，$\cos\alpha=-\cos(180^{\circ}-\alpha)$.
（1）求$\sin120^{\circ}$，$\cos120^{\circ}$，$\sin150^{\circ}$的值；
（2）若一个三角形的三个内角的度数比是$1:1:4$，$A$，$B$是这个三角形的两个顶点，$\sin A$，$\cos B$分别是关于$x$的方程$4x^{2}-mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，求$m$的值及$\angle A$和$\angle B$的大小.

答案： 解：
(1)根据题意，得$\sin120^{\circ}=\sin(180^{\circ}-120^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos120^{\circ}=-\cos(180^{\circ}-120^{\circ})=-\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$，
$\sin150^{\circ}=\sin(180^{\circ}-150^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$。
(2)$\because$三角形的内角和为$180^{\circ}$，
$\therefore$该三角形三个内角的度数分别为$30^{\circ},30^{\circ},120^{\circ}$。
$\because\sin A,\cos B$是关于$x$的方程$4x^{2}-mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
$\therefore\sin A+\cos B=\frac{m}{4}$，$\sin A\cos B=-\frac{1}{4}$，
$\therefore\sin A$与$\cos B$异号。
由
(1)，得$\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}$，且$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2},\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore\sin A＞0,\cos B＜0$，
$\therefore\angle A = 30^{\circ},\angle B = 120^{\circ}$，
$\therefore\sin30^{\circ}+\cos120^{\circ}=\frac{m}{4}$，即$\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})=\frac{m}{4}$，
解得$m = 0$。
综上所述，$m$的值为$0$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 120^{\circ}$。