《2025年畅行课堂九年级数学下册人教版山西专版》

11. 如图，在△ABC中，AD = DB，∠1 = ∠2.
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）若$S_{△ABC}∶S_{△EAD}= 9∶4$，BC = 6，求AD的长.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明：$\because AD = DB$，
$\therefore \angle B=\angle BAD$.
$\because \angle BDA=\angle 1+\angle C=\angle 2+\angle ADE$，
又$\because \angle 1=\angle 2$，$\therefore \angle C=\angle ADE$.
$\therefore \triangle ABC\sim\triangle EAD$.
(2)解：$\because \triangle ABC\sim\triangle EAD$，
$\therefore \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle EAD}} = (\frac{CB}{DA})^2=\frac{9}{4}$.$\therefore \frac{CB}{DA}=\frac{3}{2}$，
即$\frac{6}{DA}=\frac{3}{2}$.
$\therefore AD = 4$.

12.（2024·广州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE = 3，EC = 6，CF = 2. 求证：△ABE∽△ECF.

答案： 证明：$\because BE = 3$，$EC = 6$，$CF = 2$，
$\therefore BC = 3 + 6 = 9$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = BC = 9$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$.
$\because \frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，$\therefore \triangle ABE\sim\triangle ECF$.

13.（毕节中考）如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC = 1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为 （ ）

A. 100 cm²
B. 150 cm²
C. 170 cm²
D. 200 cm²

答案： A

14.【跨学科融合】如图，点B是一根均匀的木棍OA的中点，如果以O点为支点，在A处需用5 N的力竖直向上拉才能保持木棍不动，根据杠杆原理可求木棍OA所受的重力G的大小是 （ ）
A. 5 N
B. 15 N
C. 10 N
D. 20 N
　　　　

答案： C

15. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 ______米.
　　　　　　　　　　

答案： 134

16.（2024·浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O. 若点A(－3，1)的对应点为A'(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B'的坐标为 （ ）
A.（－4，8）
B.（8，－4）
C.（－8，4）
D.（4，－8）
　　

答案： A

17.（2022·黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O. 若点A(4，0)，点C(2，0)，则△OAB与△OCD周长的比值是 ______.
　　　　

答案： 2

18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B(2，3)，C(1，2).
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A₂B₂C₂，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B₂的坐标.
　　　　

答案：
解：
(1)如图，$\triangle ABC$即为所求，

(2)如图，$\triangle ABC$即为所求，点$B$的坐标为$(-4,-6)$.